تحويل إحداثيات قطبية إلى مستطيلية (مسألة رياضيات)

نحتاج هنا إلى تحويل الإحداثيات القطبية إلى إحداثيات مستطيلية. للقيام بذلك، نستخدم العلاقات التالية:

إذا كانت الإحداثيات القطبية لنقطة ما هي $(r, \theta)$، حيث $r$ هو الشعاع و$\theta$ هو الزاوية بين الشعاع والمحور الموجب للاكس، فإن الإحداثيات المستطيلية لتلك النقطة هي $(x, y)$ حيث:
$x = r \cdot \cos(\theta)$
$y = r \cdot \sin(\theta)$

في هذه المسألة، الإحداثيات القطبية للنقطة المعطاة هي $\left( 5, \frac{3 \pi}{2} \right)$، حيث $r = 5$ و$\theta = \frac{3 \pi}{2}$.

نستخدم العلاقات التي ذكرناها لتحويل الإحداثيات القطبية إلى إحداثيات مستطيلية:

$x = 5 \cdot \cos\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$
$y = 5 \cdot \sin\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$

تلاحظ أن $\cos\left(\frac{3 \pi}{2}\right) = 0$ و$\sin\left(\frac{3 \pi}{2}\right) = -1$.

وبالتالي:
$x = 5 \cdot 0 = 0$
$y = 5 \cdot (-1) = -5$

إذاً، إحداثيات المستطيلية للنقطة $\left( 5, \frac{3 \pi}{2} \right)$ عند تمثيلها بإحداثيات قطبية هي $(0, -5)$.

بالطبع، سنقوم بتوضيح المزيد من التفاصيل حول كيفية حل هذه المسألة والقوانين المستخدمة في الحل.

1. التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات المستطيلية:
   في هذه المسألة، نريد تحويل الإحداثيات القطبية $(r, \theta)$ إلى الإحداثيات المستطيلية $(x, y)$.
   للقيام بذلك، نستخدم القوانين التالية:

   • $x = r \cdot \cos(\theta)$
   • $y = r \cdot \sin(\theta)$

2. القانون الأول: القاعدة الثلاثية:
   يعتمد القانون الأول على القاعدة الثلاثية في المثلثات، حيث:

   • $\cos(\theta)$ هو النسبة بين الضلع المجاور للزاوية $\theta$ والوتر (الشعاع).
   • $\sin(\theta)$ هو النسبة بين الضلع المقابل للزاوية $\theta$ والوتر.

3. تحويل زاوية $\frac{3 \pi}{2}$ إلى القيمة المعتادة:

   • نعلم أن قيمة $\frac{3 \pi}{2}$ تقع في الربع الثالث من الدائرة الوحدة.
   • في هذا الربع، قيمة الكوساين تكون صفرًا والسين تكون -1.
   • بما أن قيمة $r$ إيجابية، فإن النقطة ستكون على محور الصندوق الأفقي الأيمن.

الآن، سنقوم بتطبيق القوانين المذكورة على المسألة:

نعطينا إحداثيات قطبية لنقطة ما، وهي $(5, \frac{3 \pi}{2})$، حيث $r = 5$ و$\theta = \frac{3 \pi}{2}$.

نستخدم القوانين للتحويل إلى إحداثيات مستطيلية:
$x = 5 \cdot \cos\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$
$y = 5 \cdot \sin\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$

من القوانين المتوجهة، نعلم أن:
$\cos\left(\frac{3 \pi}{2}\right) = 0$
$\sin\left(\frac{3 \pi}{2}\right) = -1$

وبالتالي، يصبح الحساب كالتالي:
$x = 5 \cdot 0 = 0$
$y = 5 \cdot (-1) = -5$

لذا، تصبح إحداثيات المستطيلية للنقطة $(5, \frac{3 \pi}{2})$ هي $(0, -5)$.

هذا هو الحل للمسألة، حيث استخدمنا القوانين المتعلقة بالتحويل بين الإحداثيات القطبية والإحداثيات المستطيلية واستخدمنا المعرفة المتعلقة بالدوال المثلثية لحساب القيم المطلوبة.