تحويل إحداثيات قطبية إلى مستطيلية: الحسابات والمعادلات (مسألة رياضيات)

نريد تحويل النقطة $\left( 8, \frac{7 \pi}{6} \right)$ من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات المستطيلية.

لتحويل الإحداثيات من القطبية إلى المستطيلية، نستخدم العلاقات التالية:
$x = r \cdot \cos(\theta)$
$y = r \cdot \sin(\theta)$

حيث أن:

• $r$ هو الشعاع (المسافة من النقطة إلى الأصل).
• $\theta$ هو الزاوية بين الشعاع والمحور الموجب للمحور $x$.

في هذه الحالة:
$r = 8$
$\theta = \frac{7 \pi}{6}$

وبمعرفة قيم $r$ و$\theta$، نستطيع حساب الإحداثيات المستطيلية كالتالي:

$x = 8 \cdot \cos\left(\frac{7 \pi}{6}\right)$
$y = 8 \cdot \sin\left(\frac{7 \pi}{6}\right)$

الآن، لحساب قيمة $\cos\left(\frac{7 \pi}{6}\right)$ و$\sin\left(\frac{7 \pi}{6}\right)$، نحتاج إلى النظر إلى الدائرة الوحدية وزاوية $\frac{7 \pi}{6}$ التي تكمل دورة كاملة في الدائرة الوحدية.

زاوية $\frac{7 \pi}{6}$ تقع في الربع الثالث من الدائرة، وهي تحتوي على زاوية قيمة الزاوية القياسية $\frac{\pi}{6}$، ولكن بالاتجاه المعاكس.

بالتالي:
$\cos\left(\frac{7 \pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\left(\frac{7 \pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

وبالتالي:
$x = 8 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -4\sqrt{3}$
$y = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -4$

إذاً، الإحداثيات المستطيلية للنقطة $\left( 8, \frac{7 \pi}{6} \right)$ هي $(-4\sqrt{3}, -4)$.

في هذه المسألة، نحتاج إلى تحويل الإحداثيات من القطبية إلى المستطيلية. القوانين المستخدمة هي قوانين الجبر والهندسة الرياضية، والتي تشمل:

1. قانون الجبر:
   • قواعد الجبر مثل ضرب الأعداد وقوى الأعداد تُستخدم في حساب القيم.
2. قوانين الهندسة الرياضية:
   • الدائرة الوحدية ودوران الزوايا حولها.
   • التعرف على الزوايا القياسية وقيم الجيب والساين لها.

الخطوات التفصيلية لحل المسألة:

1. نحدد القيم المعطاة: في هذه الحالة، القيم المعطاة هي الشعاع $r = 8$ والزاوية $\theta = \frac{7 \pi}{6}$.
2. نستخدم قوانين الهندسة الرياضية لتحويل الإحداثيات من القطبية إلى المستطيلية:
   • $x = r \cdot \cos(\theta)$
   • $y = r \cdot \sin(\theta)$
3. نحسب قيمة الكوساين والساين للزاوية المعطاة:
   • لحساب قيمة $\cos\left(\frac{7 \pi}{6}\right)$ و$\sin\left(\frac{7 \pi}{6}\right)$، نستخدم الدائرة الوحدية والزاوية المعطاة.
4. نقوم بحساب الإحداثيات المستطيلية $x$ و$y$ باستخدام القيم المحسوبة للكوساين والساين والشعاع:
   • $x = 8 \cdot \cos\left(\frac{7 \pi}{6}\right)$
   • $y = 8 \cdot \sin\left(\frac{7 \pi}{6}\right)$
5. نقوم بحساب قيم الإحداثيات المستطيلية $x$ و$y$.

باختصار، نحتاج إلى فهم القوانين الرياضية والهندسية لحساب الإحداثيات المستطيلية من الإحداثيات القطبية، وذلك من خلال استخدام الكوساين والساين والدوال الهندسية الأساسية في الرياضيات.