تحويل إحداثيات قطبية إلى مستطيلية: الحلول والتطبيقات (مسألة رياضيات)

نريد أن نحدد إحداثيات النقطة التي تمثلها $(2\sqrt{3}, \frac{2\pi}{3})$ في الإحداثيات المستطيلية عند تمثيلها في الإحداثيات القطبية.

للقيام بذلك، نستخدم العلاقات بين الإحداثيات المستطيلية $(x, y)$ والإحداثيات القطبية $(r, \theta)$.
هذه العلاقات هي:

$x = r \cdot \cos(\theta)$
$y = r \cdot \sin(\theta)$

حيث:

• $r$ هو المسافة من النقطة إلى الأصل (البؤرة).
• $\theta$ هو الزاوية المكونة بين الدائرة والمحور الموجب للسينات.

في هذه المسألة، لدينا:

• $r = 2\sqrt{3}$ (النقطة على بعد $2\sqrt{3}$ من الأصل).
• $\theta = \frac{2\pi}{3}$ (زاوية قياسية بالراديان).

باستخدام العلاقات أعلاه، نستطيع حساب الإحداثيات المستطيلية للنقطة.
$x = 2\sqrt{3} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$
$y = 2\sqrt{3} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

الآن، نحتاج إلى قيمة $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ و $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.
للزاوية $\frac{2\pi}{3}$، نعلم أن قيم الجيوب للزوايا القياسية المتعلقة بـ $\frac{\pi}{3}$ هي $\frac{1}{2}$ و $\frac{\sqrt{3}}{2}$ على التوالي، ولكن نحتاج إلى العلامات المناسبة للربع الثاني.

• في الربع الثاني، الجيب (cosine) سالبًا.
• السين (sine) إيجابيًا لأن النقطة في الربع الثاني تكون فوق المحور الأفقي.

وبالتالي:
$x = 2\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3}$
$y = 2\sqrt{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3$

إذاً، الإحداثيات المستطيلية للنقطة التي تمثلها $(2\sqrt{3}, \frac{2\pi}{3})$ في الإحداثيات القطبية هي $(-\sqrt{3}, 3)$.

في هذه المسألة، نريد تحويل النقطة التي تُعطى بإحداثيات قطبية إلى إحداثيات مستطيلية. القوانين المستخدمة هي قوانين تحويل الإحداثيات بين النظامين، وهي العلاقات التالية:

1. قانون تحويل الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات المستطيلية:
   $x = r \cdot \cos(\theta)$
   $y = r \cdot \sin(\theta)$

2. القيم المخصوصة للجيب والسين في الدوائر القائمة، حيث:

• في الربع الثاني: الجيب يكون سالباً.
• في الربع الثاني: السين يكون موجباً.

للتفصيل أكثر في الحل:

النقطة المعطاة بإحداثيات قطبية هي $(2\sqrt{3}, \frac{2\pi}{3})$. لنحول هذه الإحداثيات إلى إحداثيات مستطيلية، نستخدم القانون الأول المذكور أعلاه.

نبدأ بتحويل الإحداثيات:

$x = 2\sqrt{3} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$
$y = 2\sqrt{3} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

الآن، نحتاج إلى قيم الكوساين والسين للزاوية $\frac{2\pi}{3}$.

• الكوساين في الربع الثاني يكون سالباً، وقيمته في هذا الربع تكون $-\frac{1}{2}$.
• السين في الربع الثاني يكون موجباً، وقيمته في هذا الربع تكون $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

وبالتالي:
$x = 2\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3}$
$y = 2\sqrt{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3$

إذاً، الإحداثيات المستطيلية للنقطة التي تُعطى بالإحداثيات القطبية $(2\sqrt{3}, \frac{2\pi}{3})$ هي $(-\sqrt{3}, 3)$.

هذا الحل يستند إلى مفهوم الدوائر القائمة والقيم المخصصة للجيب والسين في كل ربع، مما يسمح لنا بتحويل الإحداثيات بدقة.