تحويل إحداثيات النقاط: مستطيلية إلى كروية (مسألة رياضيات)

نعطي إحداثيات نقطة في الفضاء بشكل مستطيلي $(x,y,z)$ وبشكل كروي $\left(2, \frac{8 \pi}{7}, \frac{2 \pi}{9} \right)$. نحتاج إلى إيجاد إحداثيات النقطة التي لها إحداثيات مستطيلية $(x,y,-z)$.

للقيام بذلك، نحتاج إلى فهم كيفية التحويل بين الإحداثيات المستطيلية والإحداثيات الكروية. في البداية، لنتذكر العلاقات التالية:

حيث أن $\rho$ هي المسافة من النقطة إلى الأصل، $\phi$ هو الزاوية الزاوية القائمة مع محور $z$، و $\theta$ هو الزاوية في الاتجاه المعاكس لمحور $x$.

للتحويل من $(x,y,z)$ إلى $(\rho,\theta,\phi)$، يمكننا استخدام المعادلات التالية:

الآن، بالنظر إلى النقطة $(x,y,z)$ ونريد إيجاد إحداثيات النقطة $(x,y,-z)$، يمكننا ببساطة استبدال $z$ ب $-z$ في المعادلات. وبالتالي، نحصل على:

المعادلات أعلاه تظهر أن $\rho$ هو نفسه في كلا الحالتين، أما $\theta$ فهو نفسه بسبب الضرب في $\frac{y}{x}$، ولكن يجب ملاحظة أن العمود الخاص بالمحور $z$ يتغير في النقطة الجديدة إلى $-z$، لذا نقوم بتغيير الاشارة لحساب الزاوية $\phi$.

لذا، يمكننا كتابة إحداثيات النقطة $(x,y,-z)$ بالشكل $(\rho, \theta, -\phi)$. وبما أن قيمة $\phi$ تتغير بين $0$ و$\pi$، فإن تغيير الاشارة سيحافظ على هذا النطاق.

وبالتالي، إجابة المسألة هي:

في هذه المسألة، نقوم بتحويل إحداثيات نقطة من النظام المستطيلي إلى النظام الكروي والعكس، وذلك باستخدام العلاقات الرياضية المتبادلة بين الإحداثيات المستطيلية والإحداثيات الكروية.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. تحويل الإحداثيات المستطيلية إلى الإحداثيات الكروية:

   • $\rho$: المسافة من النقطة إلى الأصل.
   • $\theta$: الزاوية في الاتجاه المعاكس لمحور $x$.
   • $\phi$: الزاوية القائمة مع محور $z$.
   • العلاقات:
     • $\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
     • $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$.
     • $\phi = \arccos\left(\frac{z}{\rho}\right)$.

2. تحويل الإحداثيات الكروية إلى الإحداثيات المستطيلية:

   • $x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta)$.
   • $y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta)$.
   • $z = \rho \cos(\phi)$.

في هذه المسألة، نعطى إحداثيات النقطة في النظام الكروي ونريد إيجاد إحداثيات النقطة التي لها $z$ معكوسة في النظام المستطيلي.

نقوم بتغيير الاشارة لإحداثيات $z$ وذلك ببساطة يعني أنه بالنسبة للزاوية $\phi$ نجعلها سالبة، وذلك لأنه عندما تكون $z$ موجبة فإن الزاوية $\phi$ تكون بين $0$ و$\pi$، ولكن عندما يكون $z$ سالبة فإن الزاوية $\phi$ تكون بين $-\pi/2$ و$0$. وبالتالي، للحفاظ على القيمة المطلقة للزاوية نستخدم قيمة سالبة للزاوية.

التغيير الوحيد الذي نقوم به هو تغيير اشارة الزاوية $\phi$ في إحداثيات النقطة. وهذا ما يمثل في المعادلة النهائية بتغيير الاشارة للزاوية $\phi$ في الإحداثيات الكروية.

هكذا نكون قد حصلنا على الإحداثيات الكروية للنقطة الجديدة بعد تغيير اشارة إحداثيات $z$، والتي تتمثل في $(\rho, \theta, -\phi)$.

باختصار، القوانين المستخدمة هي قوانين تحويل الإحداثيات بين النظام المستطيلي والنظام الكروي، والتعديل الوحيد هو تغيير اشارة الزاوية $\phi$ في النظام الكروي.