تحويل إحداثيات أسطوانية إلى مستطيلة: حلاقة رياضية (مسألة رياضيات)

نحن هنا لحل المسألة الرياضية التي تتعلق بتحويل إحداثيات نقطة من الإحداثيات الأسطوانية إلى الإحداثيات المستطيلة. النقطة المعطاة هي $\left( 8, \frac{\pi}{4}, \sqrt{3} \right)$ في الإحداثيات الأسطوانية. لنقم بتحويل هذه الإحداثيات إلى الإحداثيات المستطيلة.

في الإحداثيات الأسطوانية، النقطة تُمثل بواسطة الإحداثيات $(r, \theta, z)$ حيث:

• $r$ هو المسافة من نقطة إلى محور $z$.
• $\theta$ هو الزاوية الزاوية الرأسية مع المحور $z$.
• $z$ هو الإحداثيات الرأسية.

الإحداثيات المستطيلة تُمثل بواسطة $(x, y, z)$ حيث:

• $x$ هو المسافة من نقطة إلى محور $x$.
• $y$ هو المسافة من نقطة إلى محور $y$.
• $z$ هو الإحداثيات الرأسية.

التحويل بين الإحداثيات الأسطوانية والإحداثيات المستطيلة يتم بواسطة العلاقات التالية:
$x = r \cos(\theta)$
$y = r \sin(\theta)$
$z = z$

لنقوم بتحويل النقطة المعطاة:
$x = 8 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$y = 8 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$z = \sqrt{3}$

نحسب قيمة $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ و $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$:
$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

الآن نقوم بحساب القيم:
$x = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$y = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$z = \sqrt{3}$

نبسط القيم:
$x = \frac{8}{\sqrt{2}}$
$y = \frac{8}{\sqrt{2}}$
$z = \sqrt{3}$

لدينا الآن الإحداثيات المستطيلة للنقطة وهي $\left( \frac{8}{\sqrt{2}}, \frac{8}{\sqrt{2}}, \sqrt{3} \right)$.

بالطبع، سنقدم تفاصيل أكثر لحل المسألة وسنذكر القوانين والتعابير المستخدمة في هذا الحل.

نحن بصدد حل مسألة تحويل إحداثيات نقطة من الإحداثيات الأسطوانية إلى الإحداثيات المستطيلة. النقطة المعطاة هي $\left( 8, \frac{\pi}{4}, \sqrt{3} \right)$ في الإحداثيات الأسطوانية. لحساب الإحداثيات المستطيلة، نستخدم القوانين التالية:

1. تحويل الإحداثيات الأسطوانية إلى الإحداثيات المستطيلة:
   $x = r \cos(\theta)$
   $y = r \sin(\theta)$
   $z = z$

   حيث:

   • $r$ هو المسافة من نقطة إلى محور $z$ (في هذه الحالة، $r = 8$).
   • $\theta$ هو الزاوية الرأسية مع المحور $z$ (في هذه الحالة، $\theta = \frac{\pi}{4}$).
   • $z$ هو الإحداثيات الرأسية (في هذه الحالة، $z = \sqrt{3}$).

2. قيمة $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ و $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$:
   $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
   $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

3. حساب الإحداثيات المستطيلة:
   $x = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
   $y = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
   $z = \sqrt{3}$

4. تبسيط القيم:
   $x = \frac{8}{\sqrt{2}}$
   $y = \frac{8}{\sqrt{2}}$
   $z = \sqrt{3}$

التعابير المستخدمة هنا هي جزء من الرياضيات الأساسية والهندسة، وهي مبنية على المفاهيم الجبرية والهندسية. يستخدم القانون الأساسي لتحويل الإحداثيات الأسطوانية إلى المستطيلية العلاقات الهندسية بين الإحداثيات في النظامين. القيم المستخدمة لحساب $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ و $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$ تعتمد على قيم زوايا خاصة، والتي يمكن حسابها باستخدام الدوال الزائدة الزاوجية.

في النهاية، نحصل على الإحداثيات المستطيلية للنقطة المعطاة وهي $\left( \frac{8}{\sqrt{2}}, \frac{8}{\sqrt{2}}, \sqrt{3} \right)$.