تحويلات هندسية: حساب المساحة (مسألة رياضيات)

لنعتبر منطقة $S$ في السطح بمساحة 4 ونطبق عليها المصفوفة
$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$
لنحصل على المنطقة $S’.$ يطلب منا حساب مساحة $S’.$

لنقوم أولاً بتحويل نقاط المنطقة $S$ عبر المصفوفة المعطاة. فلنفرض أن لدينا نقطة $(x, y)$ في $S.$ عند تطبيق المصفوفة على هذه النقطة، نحصل على نقطة جديدة بالتالي:

الآن، لنجد النقاط الجديدة في $S’.$ نريد أن نعرف كيف تتغير المساحة بينما ننتقل من $S$ إلى $S’.$

سنبدأ بحساب المحور الجديد للمستطيل. يتألف المحور الجديد للمستطيل من النقاط $(2x – y, 7x + 2y)$.

لنحدد نقاط المستطيل الجديد، نراعي أن المنطقة المحصورة بين النقاط المتلاصقة في المستطيل الأصلي تكون تحت نفس المساحة بعد التحول. بمعنى آخر، المستطيل الجديد سيكون متشابهًا بالشكل للمستطيل الأصلي.

لحساب المساحة، يكفينا فقط حساب طول القاعدة والارتفاع، ثم ضربهما معًا.

للعثور على طول القاعدة الجديدة، نحتاج إلى معرفة فارق الأبعاد بين النقطة العليا والنقطة السفلية للمستطيل الأصلي. بمعنى آخر، نحتاج إلى حساب الفارق بين النقاط $(2x – y)$ و $(x, y)$.

لذا، الطول الجديد للقاعدة هو $(2x – y) – x = x – y$.

بنفس الطريقة، نجد الارتفاع الجديد للمستطيل بحساب الفارق بين النقطة العلوية والنقطة السفلية للمستطيل الأصلي في الاتجاه الرأسي، وهو $(7x + 2y) – y = 7x + y$.

المساحة الجديدة للمستطيل هي الناتج من ضرب القاعدة الجديدة في الارتفاع الجديد:
$A’ = (x – y)(7x + y)$

الآن، علينا حساب هذه المساحة لكل نقطة في $S$ ثم إجراء التكامل للحصول على المساحة الإجمالية للمنطقة $S’.$

لحساب المساحة الإجمالية، يجب علينا حل المعادلة التكاملية:
$A’ = \int\int_{S} (x – y)(7x + y) \, dx \, dy$

بعد حساب التكاملات، سنحصل على قيمة المساحة الإجمالية للمنطقة $S’.$

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام مفاهيم الرياضيات الخطية والتحويلات الهندسية. سنقوم بتطبيق المصفوفة المعطاة على منطقة $S$ في السطح للحصول على المنطقة $S’.$ سنستخدم قوانين الجبر الخطي والتحويلات الهندسية لحساب المساحة الجديدة.

القوانين والخطوات المستخدمة في الحل تشمل:

1. التحويلات الهندسية باستخدام المصفوفات: نحن نقوم بتطبيق المصفوفة المعطاة على نقاط منطقة $S$ في السطح. تحويل نقطة $(x, y)$ بواسطة المصفوفة ينتج عنها نقطة جديدة في المنطقة $S’.$ هذا التحويل يتمثل في ضرب المصفوفة في النقطة.

2. حساب المساحة بالتكامل: بعد تحويل المنطقة، نستخدم التكاملات لحساب المساحة الجديدة. يتمثل هذا في تكامل دالة المساحة الجديدة على المنطقة الأصلية للحصول على المساحة الإجمالية للمنطقة المحولة.

3. الرياضيات الخطية: في عملية التحويل، نقوم بعمليات جبرية مع المصفوفة والنقاط لتحويل الإحداثيات وحساب المساحة الجديدة. هناك استخدام لضرب المصفوفات وجمع وطرح النقاط.

4. تطبيق قوانين الجبر الخطي: نستخدم قوانين الجبر الخطي لضمان صحة التحويلات والعمليات المطبقة على المصفوفات والنقاط.

5. الحساب التحليلي والهندسي: نستخدم المفاهيم التحليلية والهندسية لفهم كيفية تأثير التحويلات على المنطقة وتغيرات المساحة.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، يمكننا حساب المساحة الجديدة للمنطقة $S’.$ سيكون الحل متكاملاً عند تطبيق الرياضيات الخطية والتحويلات الهندسية على المسألة.