تحويلات خطية وحساب المساحة (مسألة رياضيات)

إذا كانت منطقة في السطح، المعبر عنها بـ S، لديها مساحة تبلغ 10، فما هي مساحة المنطقة S’ التي تم الحصول عليها عند تطبيق المصفوفة [(2، 1)، (7، -3)] على S؟

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم التحويلات الخطية. عند تطبيق المصفوفة على المنطقة S، نقوم بتحويلها إلى منطقة جديدة تسمى S’، وذلك باستخدام الصيغة:

$S’ = M \cdot S$

حيث أن M هي المصفوفة المعطاة و S هي المنطقة الأصلية.

المصفوفة المعطاة هي:

$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}$

لنقم بتطبيق هذه المصفوفة على المنطقة S. لكن قبل ذلك، سنحتاج إلى معرفة كيفية تطبيق المصفوفة على نقطة في المستوى.

للتحويل الخطي، نقوم بضرب المصفوفة في النقطة المكونة من إحداثيات (x، y). لذا، إذا كانت (x، y) نقطة في S، فإن التحول سيكون كالتالي:

$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 7 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

حيث أن (x’، y’) هي النقطة الناتجة بعد التحول.

الآن، لتطبيق المصفوفة على المنطقة S بأكملها، سنحتاج إلى استخدام مبدأ التحول على كل نقطة في S، ثم حساب مساحة المنطقة الناتجة.

سنفترض أن المنطقة S محددة بواسطة مجموعة من النقاط (x، y). بعد تطبيق التحويل على كل نقطة، سنحصل على مجموعة جديدة من النقاط (x’، y’).

المساحة الجديدة للمنطقة S’ ستكون المساحة الخطية للمنطقة S بعد التحويل. وبالتالي، سنحتاج إلى حساب المساحة الجديدة باستخدام النقاط الناتجة بعد التحويل.

بعد حساب المساحة، سنحصل على الإجابة النهائية.

أتمنى أن يكون الشرح وافيًا ومفهومًا.

لحل المسألة التي تتعلق بتطبيق المصفوفة على منطقة في السطح وحساب مساحة المنطقة الناتجة، نحتاج إلى فهم القوانين والمفاهيم التالية:

1. تحويلات الأشكال (Transformation): تتيح لنا تحويلات الأشكال في الهندسة الخطية تطبيق تحولات معينة على الأشكال الهندسية مثل النقاط والمناطق في السطح.

2. المصفوفات والضرب المصفوفاتي (Matrix and Matrix Multiplication): في هذه المسألة، نقوم بتطبيق مصفوفة معينة على مجموعة من النقاط للحصول على مجموعة نقاط جديدة.

3. مساحة المنطقة (Area of Region): يتعين علينا حساب المساحة للمنطقة الناتجة بعد التحولات لفهم التغيير في المساحة.

الآن، لحساب مساحة المنطقة الناتجة، نقوم بالخطوات التالية:

1. تطبيق المصفوفة على كل نقطة في المنطقة الأصلية: نقوم بضرب كل نقطة في المنطقة الأصلية بالمصفوفة المعطاة للحصول على موقع النقطة الجديدة بعد التحول.

2. حساب المساحة الجديدة للمنطقة: بعد التحويل، نستخدم النقاط الجديدة لحساب المساحة الجديدة للمنطقة باستخدام القوانين الهندسية المعروفة.

في هذه المسألة، نحصل على المصفوفة التالية:
$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}$

وننفذ العملية التالية لتحويل كل نقطة (x، y) في المنطقة S إلى نقطة (x’، y’) في المنطقة S’:

$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 7 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

ثم بعد ذلك، بعد حساب المواقع الجديدة للنقاط، نحسب مساحة المنطقة الناتجة باستخدام النقاط الجديدة. يمكن استخدام مجموعة من الأساليب لحساب المساحة، مثل طريقة القطاعات أو طريقة الرسم على الورق.

باستخدام هذه الخطوات والمفاهيم، يمكننا حساب مساحة المنطقة S’ بعد تطبيق المصفوفة عليها.