تحول ودوران القطعة البيانية: حلول المعادلات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المطروحة تتعلق بدوران الرسم البياني للقطع الناقصة المعرفة بمعادلة $y = (x – 2)^2 + 3$ بزاوية 180 درجة حول نقطة التقاء القطعة بالمحور. بعد ذلك، يتم نقل القطعة 3 وحدات لليسار و2 وحدات للأسفل. نطرح السؤال عن مجموع القيم التي تجعل القطعة تتقاطع مع المحور.

لنقم أولاً بإعادة صياغة المعادلة بمعلومات إضافية:
$y = (x – 2)^2 + 3$

ثم نقوم بدورانها 180 درجة لتكون:
$y = -(x – 2)^2 – 3$

بعد ذلك، يتم نقلها 3 وحدات لليسار و2 وحدات للأسفل، مما يعني تبديل $x$ بـ $x + 3$ وتبديل $y$ بـ $y – 2$، لنحصل على المعادلة النهائية:
$y = -((x + 3) – 2)^2 – (3 – 2) = -(x + 1)^2 – 1$

الآن نحتاج إلى حساب القيم $a$ و $b$ بحيث يكونان جذور للمعادلة النهائية. يمكننا حساب ذلك عن طريق حل المعادلة:
$-(x + 1)^2 – 1 = 0$

الحل يكون عندما $(x + 1)^2 = -1$، وهذا لا يحدث في الأعداد الحقيقية. ولكن إذا قمنا بتوسيع المجال إلى الأعداد الخيالية، يمكننا القول أن الجذرين هما $x = -1 + i$ و $x = -1 – i$.

وبما أن السؤال يطلب الجمع بين $a$ و $b$، فإن الجواب يكون:
$a + b = (-1 + i) + (-1 – i) = -2$

لذا، مجموع القيم $a$ و $b$ هو -2.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكثر ونُظهر الخطوات التي اتخذت للوصول إلى الإجابة، مع الإشارة إلى القوانين والتحولات المستخدمة.

1. المعادلة الأصلية:
   نعطاك المعادلة: $y = (x – 2)^2 + 3$

2. الدوران بزاوية 180 درجة:
   نقوم بضرب المعادلة بـ -1 لتحقيق الدوران بزاوية 180 درجة حول النقطة (2، 3).
   $y = -(x – 2)^2 – 3$

3. النقل لليسار والأسفل:
   نقوم بتغيير $x$ إلى $x + 3$ و $y$ إلى $y – 2$.
   $y = -((x + 3) – 2)^2 – (3 – 2) = -(x + 1)^2 – 1$

4. حساب الجذور:
   نقوم بحل المعادلة:
   $-(x + 1)^2 – 1 = 0$

   بحل المعادلة نجد أنها لا تحقق جذور حقيقية، ولكن في العدد الخيالي، الجذور تكون:
   $x = -1 + i \quad \text{و} \quad x = -1 – i$

5. حساب مجموع $a$ و $b$:
   المطلوب هو جمع القيم $a$ و $b$:
   $a + b = (-1 + i) + (-1 – i) = -2$

قوانين وتحولات استخدمت في الحل:

• قانون الدوران:
  عند دوران النقطة $(x, y)$ بزاوية $\theta$ حول الأصل (نقطة البداية)، يمكن استخدام العلاقة:
  $(x’, y’) = (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)$

• تحويل النقل:
  عند نقل الرسم البياني لليسار بمقدار $a$ وللأسفل بمقدار $b$، يتم تغيير $x$ إلى $x + a$ و $y$ إلى $y – b$.

• حساب الجذور:
  يتم حساب الجذور بتساوي المعادلة إلى صفر وحل المعادلة للحصول على القيم التي تجعلها صحيحة.

• العدد الخيالي:
  نستخدم العدد الخيالي $i$ حينما يكون المعامل تحت الجذر سالبًا، حيث $i^2 = -1$.

باختصار، تم استخدام قوانين الدوران وتحويل النقل لتعديل المعادلة، ثم تم حساب الجذور باستخدام تقنيات حسابية، وأخيرًا تم حساب مجموع $a$ و $b$ وفقًا للقيم المحسوبة.