تحليل وتبسيط قوانين الأعداد المركبة (مسألة رياضيات)

نقوم بتبسيط التعبير الرياضي المعطى كالتالي:

لحسن الفهم، نستخدم الخاصية المهمة في جبر الأعداد المركبة التي تقول إنه إذا كانت $a$ و $b$ هما أعداد حقيقية، فإن $(a + bi)^{2} = a^{2} – b^{2} + 2abi$. نستخدم هذه الخاصية لتبسيط المعادلة:

ثم نقوم بتحليل معادلتي البسط والمقام على حدة. نبدأ بحساب $(1 + i)^{1000}$. هنا يمكننا استخدام خاصية التكرار للتبسيط، حيث أن $(1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i – 1 = 2i$. إذاً:

نعود لاستخدام خاصية التكرار مرة أخرى للحصول على:

ونستمر في تطبيق خاصية التكرار حتى نحصل على:

وأخيرًا، نحسب $16^{125}$ للحصول على قيمة نهائية.

بالنسبة لحساب $(1 – i)^{1000}$، يمكننا استخدام نفس الطريقة المبينة أعلاه.

بعد الحصول على القيمتين، نقوم بقسمة $(1 + i)^{1000}$ على $(1 – i)^{1000}$ للحصول على الجواب النهائي.

لحسن الفهم وتوضيح الخطوات اللازمة لحل المسألة، سأستخدم القوانين والمفاهيم الرياضية بشكل تفصيلي. نبدأ بتحليل التعبير الرياضي:

قبل أن نبدأ في تفكيك القوانين المستخدمة، يجدر بنا أن نتذكر بعض القوانين الأساسية للأعداد المركبة:

1. صيغة العدد المركب:
   إذا كان لدينا عدد مركب $z$ بصيغة $z = a + bi$ حيث $a$ و $b$ هما أعداد حقيقية، فإن $a$ هو الجزء الحقيقي للعدد و $b$ هو الجزء الخيالي.

2. صيغة طاقة العدد المركب:
   لأي عدد مركب $z = a + bi$ وعدد صحيح إيجابي $n$، يمكننا حساب طاقته بالاستناد إلى صيغة التكرار التي تقول: $z^n = (a + bi)^n$.

الآن، لنقم بتفكيك المعادلة المعطاة:

نقوم بتطبيق قاعدة القسمة على الكسر الذي يظهر في الأس:

ثم نستخدم صيغة تكرار العدد المركب لتبسيط كل من البسط والمقام:

بالنسبة لـ $(1 + i)^{1000}$، نستخدم صيغة التكرار للتحويل إلى $(2i)^{500}$.

ثم نستمر في تطبيق صيغة تكرار العدد المركب حتى نصل إلى النهاية:

بهذا نحصل على القيمة النهائية للبسط.

نكرر نفس العملية لـ $(1 – i)^{1000}$ للوصول إلى القيمة النهائية للمقام.

أخيرًا، نقوم بقسمة البسط على المقام للحصول على الجواب النهائي.

القوانين المستخدمة في هذا الحل:

1. صيغة التكرار للأعداد المركبة.
2. قاعدة القسمة للأعداد المركبة.

تم استخدام هذه القوانين بشكل متسلسل لتبسيط التعبير الرياضي وحساب القيمة النهائية.