تحليل وتبسيط تعبير لوغاريتمي معقد (مسألة رياضيات)

إذا كانت $a \geq b > 1$، فما هو أكبر قيمة ممكنة للتالي:

$\log_a \left(\frac{a}{b}\right) + \log_b \left(\frac{b}{a}\right)$

لحل هذه المسألة، دعونا نبدأ بتبسيط المعادلة. يمكننا استخدام قاعدة اللوغاريتم لتبسيط الأولى:

$\log_a \left(\frac{a}{b}\right) = \log_a(a) – \log_a(b) = 1 – \log_a(b)$

وبالمثل، يمكننا تبسيط الثانية:

$\log_b \left(\frac{b}{a}\right) = \log_b(b) – \log_b(a) = 1 – \log_b(a)$

الآن، نعيد وضع القيم المبسطة في المعادلة الأصلية:

$1 – \log_a(b) + 1 – \log_b(a)$

نجمع الأعداد المماثلة ونحصل على:

$2 – \log_a(b) – \log_b(a)$

لتحديد القيمة القصوى، يجب أن نقلل من الجزء السالب قدر الإمكان. نستخدم تبديل القواعد لجعل اللوغاريتمات في نفس القاعدة. لنقم بذلك، نستخدم القاعدة التالية: $\log_a(b) = \frac{1}{\log_b(a)}$.

إذاً:

$2 – \log_a(b) – \log_b(a) = 2 – \frac{1}{\log_b(a)} – \log_b(a)$

لنجد قيمة اللوغاريتم الذي يقلل من القيمة الإجمالية، نستخدم قاعدة التفاضل ونجد أن القيمة تقل عندما:

$\log_b(a) = 1$

هذا يحدث عندما يكون $a$ و $b$ هما عددين متساويين. لذا، القيمة القصوى للتعبير هي:

$2 – \frac{1}{1} – 1 = 1$

إذاً، القيمة الأكبر التي يمكن أن يأخذها التعبير هي 1.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، ونستخدم القوانين الرياضية وخوارزميات التبسيط. المسألة الرياضية هي:

$\log_a \left(\frac{a}{b}\right) + \log_b \left(\frac{b}{a}\right)$

بدايةً، نستخدم قاعدة اللوغاريتم لتبسيط الأولى:

$\log_a \left(\frac{a}{b}\right) = \log_a(a) – \log_a(b) = 1 – \log_a(b)$

وبالمثل، يمكننا تبسيط الثانية:

$\log_b \left(\frac{b}{a}\right) = \log_b(b) – \log_b(a) = 1 – \log_b(a)$

ثم نعيد وضع القيم المبسطة في المعادلة الأصلية:

$1 – \log_a(b) + 1 – \log_b(a)$

نقوم بجمع الأعداد المماثلة للحصول على:

$2 – \log_a(b) – \log_b(a)$

الآن، نستخدم قاعدة التبديل لتحويل اللوغاريتمات إلى نفس القاعدة، حيث:

$\log_a(b) = \frac{1}{\log_b(a)}$

نقوم بتبديل اللوغاريتمات:

$2 – \frac{1}{\log_b(a)} – \log_b(a)$

لتحديد القيمة القصوى، نستخدم خوارزمية التفاضل. نجد أن القيمة تقل عندما:

$\log_b(a) = 1$

هذا يحدث عندما يكون $a$ و $b$ هما عددين متساويين. لذا، القيمة القصوى للتعبير هي:

$2 – \frac{1}{1} – 1 = 1$

قوانين الرياضيات المستخدمة في هذا الحل تشمل:

1. قاعدة اللوغاريتم: $\log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c)$
2. تبديل القواعد للوغاريتم: $\log_a(b) = \frac{1}{\log_b(a)}$
3. خوارزمية التفاضل: استخدام تفاضل اللوغاريتمات للتحكم في القيمة المطلوبة.

تمثل هذه القوانين الأساسية أدوات قوية في الحساب الرياضي لتبسيط التعبيرات والوصول إلى الإجابات المطلوبة.