تحليل هندسي: مثلثات في مكعب (مسألة رياضيات)

عدد المثلثات الممكنة التي يمكن تكوينها عن طريق ربط ثلاث نقاط مختلفة في مكعب هو 24 مثلثًا. سنقوم بحساب هذا العدد بطريقة تفصيلية ودقيقة.

لتشكيل مثلث، يجب أن نختار ثلاث نقاط غير متجاورة على وجوه مختلفة في المكعب. لدينا 8 زوايا في المكعب، وكل زاوية تقع في نهايتي حافة. لاختيار ثلاث نقاط، يمكننا اختيار أي من الزوايا الثمانية للبداية، ثم نختار إحدى الحواف المتصلة بها لتكون النقطة الثانية، وأخيرًا، نختار حافة متجاورة لتكون الحافة الثالثة. هذا ينتج عنه 8 × 12 × 2 = 192 مثلثًا.

ومع ذلك، يجب أن نلاحظ أننا قد حسبنا كل مثلث مرتين، لأننا يمكن أن نختار النقاط بترتيبين مختلفين. لذلك، عدد المثلثات الفريدة هو 192 ÷ 2 = 96 مثلثًا.

ومن ثم، نحصل على الإجابة النهائية: هناك 96 مثلثًا فريدًا يمكن تكوينها عن طريق ربط ثلاث نقاط مختلفة في مكعب.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل العدد الممكن لتكوين المثلثات عن طريق استخدام القوانين والمفاهيم الهندسية المتاحة.

أولاً وقبل البدء في الحسابات، دعونا نفهم بعض القوانين الهندسية التي ستساعدنا في فهم كيفية تكوين المثلثات في المكعب:

1. الزوايا في المكعب: يحتوي المكعب على ثمانية زوايا، حيث تقع كل زاوية في نقطة اجتماع حافتين.

2. الحواف في المكعب: المكعب لديه 12 حافة، وكل حافة تربط بين نقطتين (زاويتين).

3. اختيار النقاط: لتكوين مثلث، نحتاج إلى اختيار ثلاث نقاط غير متجاورة.

الآن، دعونا نقوم بحساب عدد المثلثات:

• اختيار النقاط الأولى: يمكننا اختيار أي من الزوايا الثمانية، وهنا لدينا 8 خيارات.

• اختيار النقاط الثانية: بما أن لدينا 12 حافة، فإن لدينا 12 اختيارًا لاختيار الحافة الثانية.

• اختيار النقاط الثالثة: بما أن الحافة الثالثة يجب أن تكون متجاورة للحافة الثانية، فإن لدينا 2 اختيارات.

الآن نحسب العدد الإجمالي للمثلثات الممكنة: 8 (اختيار النقاط الأولى) × 12 (اختيار النقاط الثانية) × 2 (اختيار النقاط الثالثة) = 192.

ومع ذلك، يجب أن نقسم هذا العدد على 2 لأننا قد حسبنا كل مثلث مرتين بسبب ترتيب النقاط. إذاً، 192 ÷ 2 = 96.

لذا، هناك 96 مثلثًا فريدًا يمكن تكوينها عن طريق ربط ثلاث نقاط مختلفة في المكعب.