تحليل نطاق دالة القيم المطلقة (مسألة رياضيات)

الدالة المعطاة هي $G(x) = |x+1|-|x-1|$ والهدف هو حساب نطاق هذه الدالة وتعبير عن الإجابة باستخدام تعبير الفترة.

لحساب النطاق، نبدأ بفحص قيم $x$ التي تجعل أحد المطلبين في القيمة المطلقة يساوي صفر. عندما يكون $x+1=0$، نحصل على $x=-1$، وعندما يكون $x-1=0$، نحصل على $x=1$.

إذاً، لدينا نقطتين مهمتين في النطاق وهما $x=-1$ و $x=1$.

نلاحظ أن عندما $x<-1$، يكون $x+1$ سالبًا و$-(x-1)$ موجبًا، لذلك $G(x) = -(x+1) - (x-1) = -2x$. عندما $-11$، يكون $x+1$ موجبًا و$-(x-1)$ سالبًا، لذلك $G(x) = (x+1) + (x-1) = 2x$.

باختصار، يمكننا تعبير نطاق الدالة بالشكل التالي:
$\text{نطاق } G(x): \{ -2x \text{ عندما } x < -1, \, 2 \text{ عندما } -1 < x < 1, \, 2x \text{ عندما } x > 1 \}$

الفترة: $-1 < x < 1$

لتوضيح الإجابة بشكل أفضل، يمكننا تقديم النطاق باستخدام تعبير الفترة في النمط التالي:

لحل مسألة النطاق للدالة $G(x) = |x+1| – |x-1|$، سنتبع الخطوات التالية:

1. تحديد نقاط الانقلاب:
   نقاط الانقلاب هي القيم التي تجعل أحد المطلبين داخل القيم المطلقة يساوي صفر. في هذه الحالة:
   $x+1 = 0 \implies x = -1$
   $x-1 = 0 \implies x = 1$
   لدينا نقطتين مهمتين في $x = -1$ و $x = 1$.

2. تحليل المناطق بين نقاط الانقلاب:
   سنحلل المناطق بين نقطتي الانقلاب لفهم سلوك الدالة في كل منطقة. هنا لدينا ثلاث مناطق:

   • عند $x < -1$: يكون $x+1$ سالبًا و$-(x-1)$ موجبًا، لذلك $G(x) = -(x+1) – (x-1) = -2x$.
   • عند $-1 < x < 1$: كليهما موجب، لذلك $G(x) = (x+1) – (x-1) = 2$.
   • عند $x > 1$: يكون $x+1$ موجبًا و$-(x-1)$ سالبًا، لذلك $G(x) = (x+1) + (x-1) = 2x$.

3. تعبير عن النطاق:
   يمكننا الآن تعبير عن النطاق باستخدام النمط التالي:

   -2x & \text{إذا كان } x < -1 \\ 2 & \text{إذا كان } -1 < x < 1 \\ 2x & \text{إذا كان } x > 1
   \end{cases} \]

4. القوانين المستخدمة:

   • قاعدة التغيير:
     قاعدة التغيير تنص على أن تغيير علامة المتغير داخل القيمة المطلقة يؤدي إلى تغيير علامة المعامل.
     a & \text{إذا كان } a \geq 0 \\
     -a & \text{إذا كان } a < 0 \end{cases} \]
   • قاعدة الجمع والطرح:
     قاعدة الجمع والطرح تتيح لنا جمع أو طرح قيمتين داخل القيم المطلقة.
     $|a + b| = |a| + |b|$
     $|a – b| = |a| – |b|$
   • قاعدة الضرب:
     قاعدة الضرب تسهل علينا التعامل مع ضرب قيمة متغير داخل القيمة المطلقة.
     $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$

باستخدام هذه القوانين، قمنا بتحليل الدالة وحساب النطاق بشكل كامل ومفصل.