تحليل معادلة الدوال الذاتية البينية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
لنحدد عدد الدوال $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ التي تحقق المعادلة $f(x + f(y)) = x + y$ لكل الأعداد الحقيقية $x$ و $y$.

الحل:
لنبدأ بتحليل المعادلة المعطاة. عندما نقوم بتعيين $x$ و $y$ ببعض القيم، يمكننا الوصول إلى ملاحظات مهمة.

فلنعين $x = 0$، يصبح المعادلة $f(f(y)) = y$.

هذا يعني أن الدالة $f$ هي تبديل (bijection) بين القيم الممكنة ل $y$ و $f(y)$. بمعنى آخر، لكل قيمة $y$ هناك قيمة مطابقة ل $f(y)$ والعكس صحيح.

الآن، لنعين $y = 0$، يصبح المعادلة $f(x + f(0)) = x$.

هنا نرى أن الدالة $f$ هي عكسية أيضًا، حيث يمكننا تعيين $y$ بقيمة $f(0)$ والحصول على $f(x) = x$.

إذاً، الدالة الوحيدة التي تحقق المعادلة المعطاة هي $f(x) = x$.

لذا، هناك دالة واحدة فقط تحقق الشرط المطلوب وهي $f(x) = x$.

لحل هذه المسألة الرياضية، سنبدأ بتحليل المعادلة الأساسية $f(x + f(y)) = x + y$.

1. تحليل المعادلة:
   عند تعيين $x = 0$، نحصل على $f(f(y)) = y$، وهذا يشير إلى أن الدالة $f$ هي تبديل (bijection) بين قيم $y$ و $f(y)$.

   بتعيين $y = 0$، نحصل على $f(x + f(0)) = x$، وهذا يشير إلى أن الدالة $f$ هي عكسية.

   إذا كانت $f$ تبديل وعكسية في الوقت نفسه، فإن الدالة $f$ تكون تبديل ذاتي (involution)، أي $f(f(x)) = x$.

2. الاستنتاج:
   باستخدام الخواص التي اكتسبناها من تحليل المعادلة، نستنتج أن $f$ هي تبديل ذاتي.

   بالنظر إلى هذه الخاصية، نتوقع أن تكون الدالة الوحيدة التي تحقق ذلك هي $f(x) = x$، حيث تكون قيم الدالة وقيم العدد نفسه.

3. التحقق:
   لنتحقق من صحة هذه الفرضية، نقوم بتعيين $f(x) = x$ في المعادلة الأصلية:
   $f(x + f(y)) = x + y$
   $f(x + x) = x + y$
   $f(2x) = x + y$

   بتعيين $x = \frac{1}{2}y$، نحصل على:
   $f(y) = \frac{1}{2}y + y$
   $f(y) = \frac{3}{2}y$

   الآن نعيد هذه القيمة في المعادلة الأصلية:
   $f\left(x + \frac{3}{2}y\right) = x + y$

   ونجد أن هذه القيمة لا تحقق المعادلة الأصلية.

   إذاً، الحل الوحيد للمعادلة هو $f(x) = x$.

4. القوانين المستخدمة:

   • قانون التبديل (bijection): $f(f(y)) = y$
   • قانون العكسية: $f(x + f(0)) = x$
   • خاصية التبديل الذاتي: $f(f(x)) = x$

   باستخدام هذه القوانين، تم تحليل المعادلة والتوصل إلى الحل النهائي.