تحليل مجموعات المثلثات للبحث عن القيمة القصوى (مسألة رياضيات)

نبدأ بإعادة صياغة المسألة الرياضية:

نبحث عن القيمة القصوى للتالي:
$\cos \theta_1 \sin \theta_2 + \cos \theta_2 \sin \theta_3 + \cos \theta_3 \sin \theta_4 + \cos \theta_4 \sin \theta_5 + \cos \theta_5 \sin \theta_1,$
حيث يمكن أن تكون $\theta_1,$ $\theta_2,$ $\theta_3,$ $\theta_4,$ و $\theta_5$ أي عدد حقيقي.

الآن، سنبدأ في حل هذه المسألة:

لنقم بتحليل العبارة المطروحة. يمكننا ملاحظة أن العبارة تمثل مجموع مشتقات الدوال المثلثية $\cos \theta$ و $\sin \theta.$ تحديداً، إذا كانت
$f(\theta) = \cos \theta \sin \phi + \cos \phi \sin \theta,$
حيث $\phi$ هو زاوية ثابتة، فإن
$f'(\theta) = \cos \theta \cos \phi – \sin \phi \sin \theta = \cos(\theta – \phi).$

بمعنى آخر، المشتقة الأولى للعبارة المعطاة هي
$\cos(\theta_1 – \theta_2) + \cos(\theta_2 – \theta_3) + \cos(\theta_3 – \theta_4) + \cos(\theta_4 – \theta_5) + \cos(\theta_5 – \theta_1).$

للعثور على القيمة القصوى لهذه العبارة، يجب أن نراعي أن مجموع الكوساينات يمكن أن يتراوح بين $-5$ و $5.$ لدينا خمسة أعداد تتغير في الزاوية، لذا يمكن أن نحقق الحد الأدنى عندما تكون الأعداد متوازنة، أي
$\theta_1 – \theta_2 = \theta_2 – \theta_3 = \theta_3 – \theta_4 = \theta_4 – \theta_5 = \theta_5 – \theta_1.$
هذا يعني أن كل زاوية تختلف عن الأخرى بنفس القيمة. بما أن هذه القيمة هي مجرد ثابت، فإن الحد الأدنى يحدث عندما تكون الزوايا متوازنة بشكل متساوي.

لذا، نحصل على:
$\cos(\theta_1 – \theta_2) + \cos(\theta_2 – \theta_3) + \cos(\theta_3 – \theta_4) + \cos(\theta_4 – \theta_5) + \cos(\theta_5 – \theta_1) \geq -5.$

الحد الأدنى يتحقق عندما تكون الزوايا متساوية، وبالتالي، القيمة القصوى المطلوبة هي $-5.$

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل العبارة واستخدام بعض الفهم الأساسي للدوال المثلثية والكوساين.

العبارة المعطاة هي:
$\cos \theta_1 \sin \theta_2 + \cos \theta_2 \sin \theta_3 + \cos \theta_3 \sin \theta_4 + \cos \theta_4 \sin \theta_5 + \cos \theta_5 \sin \theta_1.$

لنبدأ بتحويل العبارة باستخدام هويات المجموعات المثلثية، بحيث نستخدم المعادلة $\sin(A – B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B.$ سنحاول تحويل المعادلة إلى شكل يمكننا من تحديد القيمة القصوى. سنقوم بإضافة وطرح بعض الزوايا في المعادلة المعطاة: