تحليل مثلث بسكال واللوغاريتمات (مسألة رياضيات)

لنرمز إلى المثلث باسكال بواسطة $T(n, k)$ حيث $n$ يمثل الصف و $k$ يمثل الموضع في الصف. فإن قيمة $T(n, k)$ تُعطى بواسطة العلاقة التالية:

$T(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

بما أننا مهتمون بحساب مجموع عناصر الصف ال $n$ في المثلث باسكال، فلنقم بحساب المجموع:

$S_n = \sum_{k=0}^{n} T(n, k) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$

لتسهيل الحساب، نعرف أن مجموع الأعداد في صف المثلث الباسكال يُساوي $2^n$. لذلك:

$S_n = 2^n$

الآن، لنقم بحساب قيمة $f(n)$ التي هي لوغاريتم قاعدة 10 لمجموع العناصر في الصف $n$. بالتالي:

$f(n) = \log_{10}(S_n) = \log_{10}(2^n) = n \cdot \log_{10}(2)$

الآن، نريد تعبير $\frac{f(n)}{\log_{10} 2}$ بالنسبة لـ $n$:

$\frac{f(n)}{\log_{10} 2} = \frac{n \cdot \log_{10} 2}{\log_{10} 2} = n$

إذاً، النتيجة النهائية هي:

$\frac{f(n)}{\log_{10} 2} = n$

لحل المسألة، بدأنا باستخدام العلاقة الأساسية في مثلث بسكال لحساب قيمة العنصر في الصف $n$ والموضع $k$. هذه العلاقة هي:

$T(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث $n!$ تمثل عامل التكرار وتسمى بـ “عامل الفاكتوريال”. كما أننا استخدمنا قاعدة الجمع لحساب مجموع عناصر الصف $n$ في مثلث بسكال.

ثم قمنا بحساب المجموع الكلي للعناصر في الصف $n$ من المثلث باسكال باستخدام العلاقة:

$S_n = \sum_{k=0}^{n} T(n, k) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$

التي تعطينا مجموع القيم في الصف $n$، والذي يُعرف عمومًا بأنه يساوي $2^n$.

ثم قمنا بحساب اللوغاريتم الطبيعي للقيمة $S_n$، وهو ما يُماثل الحصول على اللوغاريتم القاعدي بـ 10، حيث قمنا بتطبيق القاعدة الأساسية للوغاريتمات:

$f(n) = \log_{10}(S_n) = \log_{10}(2^n) = n \cdot \log_{10}(2)$

أخيرًا، قمنا بتقسيم قيمة $f(n)$ على اللوغاريتم القاعدي للعدد 2 للحصول على النسبة المطلوبة بالنسبة لـ $n$:

$\frac{f(n)}{\log_{10} 2} = \frac{n \cdot \log_{10} 2}{\log_{10} 2} = n$

القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. علاقة مثلث بسكال.
2. قاعدة الجمع لمجموع العناصر في صف مثلث بسكال.
3. قاعدة لوغاريتمات الأعداد الطبيعية.