تحليل قابلية الدوال للاسترجاع (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: يتم تحديد مجال دالة $f(x) = 2x^2 – 4x – 5$ لتجعلها دالة قابلة للاسترجاع. ما هو أكبر فترة، بما في ذلك النقطة $x = 0$، التي تسمح بهذه الدالة أن تكون قابلة للاسترجاع؟

الحل:
لكي تكون الدالة قابلة للاسترجاع (أو قابلة للعكس)، يجب أن تكون ثنائية القيمة في النطاق المحدد. بمعنى آخر، يجب أن تكون الدالة واحدة إلى واحدة.

لتحديد الفترة التي تجعل الدالة $f(x) = 2x^2 – 4x – 5$ قابلة للاسترجاع، يتم استخدام معرفة أن الدالة الرباعية $ax^2 + bx + c$ تكون قابلة للاسترجاع عندما يكون معامل $a$ إيجابيًا.

في هذه الحالة، $a = 2$ وهو إيجابي. ومن ثم، الدالة $f(x)$ قابلة للاسترجاع على الفترة التي يكون فيها $a > 0$.

الآن، يجب أن نحدد أكبر فترة ممكنة تتضمن نقطة $x = 0$ حيث تظل الدالة قابلة للاسترجاع. نلاحظ أن الدالة هي دالة رباعية وبالتالي ليس لديها حدود في الاتجاهين الموجب والسالب.

بالنظر إلى الشكل العام للدالة، يمكن للدالة أن تكون قابلة للاسترجاع على كل الأعداد الحقيقية.

وبالتالي، الفترة التي تتضمن $x = 0$ وتجعل الدالة $f(x)$ قابلة للاسترجاع هي من $-\infty$ إلى $\infty$.

لحل المسألة وتحديد أكبر فترة ممكنة لتجعل الدالة $f(x) = 2x^2 – 4x – 5$ قابلة للاسترجاع، نحتاج إلى فهم مفهوم قابلية الدوال للاسترجاع والقوانين المرتبطة بهذا المفهوم.

1. الدوال القابلة للاسترجاع: دالة قابلة للاسترجاع إذا كانت كل قيمة في النطاق مطابقة لقيمة واحدة وفقاً لقاعدة الدالة. بمعنى آخر، لا يمكن أن تكون هناك قيمتين مختلفتين في النطاق متطابقتين مع نفس القيمة في الدامن.

2. تحديد قابلية الدالة للاسترجاع: تعتمد قابلية الدالة للاسترجاع على شكل الدالة. في حالة الدوال الرباعية $ax^2 + bx + c$، فإنها تكون قابلة للاسترجاع عندما يكون المعامل $a$ إيجابياً.

3. تحديد الفترة المناسبة: بما أن الدالة $f(x) = 2x^2 – 4x – 5$ هي دالة رباعية ولا تتضمن أي قيود محددة، يمكن أن تكون قابلة للاسترجاع على كل الأعداد الحقيقية.

بالنظر إلى المعادلة $f(x) = 2x^2 – 4x – 5$، يمكننا أن نرى أن المعامل $a$ الخاص بـ $x^2$ هو 2 وهو إيجابي، وبالتالي الدالة قابلة للاسترجاع.

بالنظر إلى الشكل العام للدالة، نجد أن ليس هناك أي قيود على مجال الدالة. وبما أنه ليس هناك حدود محددة، فالفترة التي تتضمن $x = 0$ وتجعل الدالة $f(x)$ قابلة للاسترجاع هي من $-\infty$ إلى $\infty$.

باختصار، القوانين المستخدمة هي قوانين قابلية الدوال للاسترجاع وقوانين الدوال الرباعية، والحل يستند إلى فهم هذه القوانين وتطبيقها على المعادلة المعطاة.