تحليل علاقة الأرقام في النظم الثنائي والسباعي (مسألة رياضيات)

إذا كان العدد الصحيح الإيجابي مُمثَّلًا بالشكل $AB$ في النظام العددي الثنائي، وكذلك مُمثَّلًا بالشكل $BA$ في النظام العددي السباعي، فما هو قيمة هذا العدد في النظام العددي العشري؟

لحل هذه المسألة، دعنا نستخدم الرموز $A$ و $B$ لتمثيل الأرقام في النظام العددي الثنائي، حيث يُعبر $A$ عن الرقم في المكان العشري، ويُعبر $B$ عن الرقم في المكان الواحد. بمعنى آخر، إذا كان لدينا $AB$ في النظام الثنائي، فإن القيمة العددية لهذا الرمز هي $2A + B$.

نفس الشيء ينطبق على النظام العددي السباعي، حيث يُمثِّل $B$ الرقم في المكان السباعي و $A$ الرقم في المكان الواحد. لذلك، إذا كان لدينا $BA$ في النظام السباعي، فإن القيمة العددية لهذا الرمز هي $7B + A$.

الآن، لنعبر عن الشرط الذي يرتبط بالسؤال، نجد أن $2A + B$ يساوي $7B + A$. لنحل هذه المعادلة:

$2A + B = 7B + A$

نقوم بتجميع المتغيرات المماثلة:

$A = 6B$

الآن، نعلم أن $A$ و $B$ هما أرقام صحيحة في النطاق من 0 إلى 8، لأننا نتعامل مع النظامين الثنائي والسباعي. لذلك، القيم الممكنة لـ $B$ هي 0 و 1. إذا كان $B$ يساوي 0، فإن $A$ سيكون أيضًا 0. أما إذا كان $B$ يساوي 1، فإن $A$ سيكون 6.

لذلك، هناك اثنين من الأزواج الممكنة للأرقام $(A, B)$، وهما $(0, 0)$ و $(6, 1)$.

لنحسب القيمة العددية في النظام العددي العشري، نستخدم العلاقة $10A + B$. لنحسب القيمتين:

1. إذا كانت $(A, B) = (0, 0)$، فإن القيمة العددية هي $10 \times 0 + 0 = 0$.
2. إذا كانت $(A, B) = (6, 1)$، فإن القيمة العددية هي $10 \times 6 + 1 = 61$.

إذاً، هناك حلاين للمسألة، وهما 0 و 61.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم التمثيل الرقمي في النظم العددية المختلفة ونستنتج منه العلاقات بين الأرقام في النظامين الثنائي والسباعي.

في البداية، لنستعرض معنى الرموز $A$ و $B$ في كل نظام:

• في النظام العددي الثنائي، يُمثل $A$ الرقم في المكان العشري و $B$ الرقم في المكان الواحد. لذلك، القيمة العددية للرمز $AB$ هي $2A + B$.

• في النظام العددي السباعي، يُمثل $B$ الرقم في المكان السباعي و $A$ الرقم في المكان الواحد. لذلك، القيمة العددية للرمز $BA$ هي $7B + A$.

الآن، لحل المسألة، نحتاج إلى إيجاد علاقة بين $A$ و $B$ في النظام الثنائي والسباعي. يُعبَّر عن هذه العلاقة بالمعادلة التالية:

$2A + B = 7B + A$

نقوم بتجميع المتغيرات المماثلة:

$A = 6B$

الآن، لاستكمال الحل، نحدد القيم الممكنة لـ $B$ ونحسب القيم المقابلة لـ $A$.

للنظام الثنائي، قيمة $B$ يمكن أن تكون 0 أو 1. إذا كانت $B = 0$، فإن $A = 0$، وإذا كانت $B = 1$، فإن $A = 6$.

الآن، لنحسب القيمة العددية في النظام العددي العشري باستخدام العلاقة $10A + B$:

1. عندما تكون $(A, B) = (0, 0)$، نحصل على $10 \times 0 + 0 = 0$.
2. عندما تكون $(A, B) = (6, 1)$، نحصل على $10 \times 6 + 1 = 61$.

لذلك، هناك حلاين للمسألة، وهما 0 و 61.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. تمثيل الأرقام في النظم العددية: فهم كيفية تمثيل الأرقام في النظم الثنائي والسباعي.
2. العلاقة بين النظمين: استخدام الفهم الرياضي للتعبير عن العلاقة بين الأرقام في النظامين الثنائي والسباعي.
3. حل المعادلات: استخدام الجبر لحل المعادلات وايجاد القيم المجهولة.