تحليل رياضي: لعبة المشي والأعداد الأولية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

عند لعبي للعبة المشي، أبدأ بخطوة أولى دون فعل أي شيء. في الخطوة رقم $n$ حيث $X \le n \le 25$، أقوم باتخاذ خطوة واحدة للأمام إذا كان العدد $n$ هو عدد أولي، وباتخاذ خطوتين للوراء إذا كان العدد مركب. بعد 25 خطوة، أتوقف وأعود إلى نقطة البداية الأصلية. ما هو إجمالي عدد الخطوات التي سأقوم بها عند العودة؟

الحل:

لحساب الإجمالي لعدد الخطوات عند العودة، يمكننا تحليل الخطوات في كل حركة. إذا كان العدد $n$ هو عدد أولي، سأقوم بخطوة واحدة للأمام. وإذا كان العدد $n$ مركبًا، سأقوم بخطوتين للخلف. لحساب الإجمالي، يمكننا تحليل الأعداد من $X$ إلى 25 وتحديد ما إذا كان كل عدد هو أولي أم مركب. عندما نعرف أن الإجمالي هو 21، يمكننا حساب قيمة $X$ عند البداية.

الآن دعونا نقوم بتحليل الخطوات وحساب عدد الخطوات لنجد القيمة المناسبة لـ $X$.

نفترض أن $X$ هو العدد الذي يبدأ به اللاعب. إذا كان $X$ عددًا أوليًا، فإنه يساهم بخطوة واحدة في الإجمالي. بعد ذلك، نقوم بتحليل الأعداد من $X+1$ إلى 25، ونقوم بحساب عدد الأعداد الأولية في هذا النطاق. لنجد القيمة المناسبة لـ $X$، يجب أن يكون إجمالي الخطوات يساوي 21.

الحل بالتفصيل:

إذا كان $X$ هو عدد أولي، فإن الإجمالي سيكون $1 + (\text{عدد الأعداد الأولية في النطاق } X+1 \text{ إلى } 25)$. إذا كان $X$ عدد مركب، فإن الإجمالي سيكون $0 + (\text{عدد الأعداد الأولية في النطاق } X+1 \text{ إلى } 25)$.

باختيار قيمة مناسبة لـ $X$، نحسب الإجمالي:

إذا كان $X$ عددًا أوليًا، فالإجمالي يكون $1 + (\text{عدد الأعداد الأولية في النطاق } X+1 \text{ إلى } 25)$.

إذا كان $X$ عددًا مركبًا، فالإجمالي يكون $0 + (\text{عدد الأعداد الأولية في النطاق } X+1 \text{ إلى } 25)$.

نستمر في تحديد قيم مختلفة لـ $X$ حتى نصل إلى إجمالي الخطوات المطلوب وهو 21.

لحسن الحظ، لا يتطلب حساب قيمة محددة لـ $X$ بمراحل كثيرة، حيث أننا نعلم أن الإجمالي هو 21. إذاً، يمكننا التوقف عند النقطة التي تحقق هذا الإجمالي. لنقم بذلك:

لنفترض أن $X$ هو العدد الذي نبدأ به، إذاً:

• إذا كان $X$ عددًا أوليًا، فإن الإجمالي سيكون $1 + (\text{عدد الأعداد الأولية في النطاق } X+1 \text{ إلى } 25)$.
• إذا كان $X$ عددًا مركبًا، فإن الإجمالي سيكون $0 + (\text{عدد الأعداد الأولية في النطاق } X+1 \text{ إلى } 25)$.

نحتاج إلى أن يكون إجمالي الخطوات يساوي 21. لنبدأ بتحليل الخيارات:

1. إذا كان $X$ هو عدد أولي، سنقوم بتحليل الأعداد الأولية من $X+1$ إلى 25، ونحسب عددها. إذا كان الإجمالي يكون 20، فإننا نحتاج إلى خطوة واحدة أخرى، لكن إذا كان الإجمالي 21، فهذا هو الحل المطلوب.

2. إذا كان $X$ هو عدد مركب، سنقوم بتحليل الأعداد الأولية من $X+1$ إلى 25، ونحسب عددها. إذا كان الإجمالي يكون 21، فهذا هو الحل المطلوب.

باختصار، إذا كان $X$ هو عدد أولي حيث الإجمالي يكون 21، فإن الإجابة على السؤال هي أن $X$ يكون هو ذلك العدد الأولي الذي يحقق هذا الإجمالي.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل كل عدد في النطاق من $X$ إلى 25 ونحسب عدد الأعداد الأولية في هذا النطاق. سنستخدم القوانين الرياضية والحسابية التالية:

1. تحديد ما إذا كان العدد هو عدد أولي أم مركب:

   • العدد $n$ هو عدد أولي إذا لم يكن لديه أي عوامل غير 1 ونفسه.
   • العدد $n$ هو عدد مركب إذا كان لديه عوامل أخرى بخلاف 1 ونفسه.

2. حساب الإجمالي:

   • إذا كان العدد $n$ هو عدد أولي، يساهم بخطوة واحدة في الإجمالي.
   • إذا كان العدد $n$ هو عدد مركب، يساهم بخطوتين في الإجمالي.

بناءً على هذه القوانين، سنقوم بحساب الإجمالي بدءًا من $X$ حتى 25. سنقوم بزيارة كل عدد في هذا النطاق ونحسب عدد الأعداد الأولية والمركبة ونضيف الخطوات المناسبة وفقًا للقوانين المذكورة.

الهدف هو الوصول إلى إجمالي يساوي 21. لنقم بتحليل بعض الحالات:

1. إذا كان $X$ هو عدد أولي، نحتاج إلى التأكد من أن إجمالي الخطوات يكون 21 بتحليل الأعداد الأولية من $X+1$ إلى 25.

2. إذا كان $X$ هو عدد مركب، نحتاج إلى التأكد من أن إجمالي الخطوات يكون 21 بتحليل الأعداد الأولية من $X+1$ إلى 25.

نستخدم هذه الطريقة لتحديد القيمة المحددة لـ $X$ التي تحقق إجمالي الخطوات المطلوب. يمكن أن يكون هذا عملية تجريب وخطأ، لكن يمكن أن تكون فعّالة باستخدام المنطق الرياضي لتقليل عدد الحالات التي يجب علينا تحليلها.