تحليل رياضي: قيم $ab + ac + bc$ (مسألة رياضيات)

لنعيد صياغة المسألة باللغة العربية:

لنفترض أن $a$، $b$، و$c$ أعداد حقيقية تتحقق العلاقة $a + b + c = 0$. ما هي مجموعة القيم الممكنة للتعبير $ab + ac + bc$؟

الحل:
لنبدأ بتوسيع التعبير $ab + ac + bc$:
$ab + ac + bc = a(b + c) + bc = a(-a) + bc = -a^2 + bc$

الآن نحاول إيجاد صلة بين هذا التعبير والشروط المعطاة في المسألة. لدينا $a + b + c = 0$، ومنها نعرف أن $a = -(b + c)$.

نستبدل $a$ في التعبير السابق لنحصل على:
$-a^2 + bc = -(-(b+c))^2 + bc = -(b+c)^2 + bc = -b^2 – 2bc – c^2 + bc = -(b^2 + c^2 + bc)$

الآن، يبدو أنه لدينا صلة بين التعبير $ab + ac + bc$ وبين مجموعة مربعات $b$ و $c$ والمنتج $bc$.

نحاول الآن تبسيط المعادلة أكثر. لدينا:
$ab + ac + bc = -(b^2 + c^2 + bc)$

نعرف أن الحد الأدنى للمعادلة $-(b^2 + c^2 + bc)$ هو $-\infty$ لأنه يمكن للتعبير $b^2 + c^2 + bc$ أن يأخذ أي قيمة غير سالبة للمتغيرات $b$ و $c$.

وبما أننا نريد أن نجد القيم الممكنة للتعبير $ab + ac + bc$، فإن أقصى قيمة ممكنة هي $-\infty$.

إذاً، المجموعة الكاملة للقيم الممكنة للتعبير $ab + ac + bc$ هي $(-\infty, 0]$.

وبالتالي، القيم الممكنة للتعبير $ab + ac + bc$ هي جميع الأعداد السالبة وصفر.

لحل المسألة وإيجاد مجموعة القيم الممكنة للتعبير $ab + ac + bc$ عندما $a + b + c = 0$، يمكننا استخدام بعض الخواص الجبرية والتحليلية في العلاقات الرياضية.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. توسيع العبارات الجبرية: نستخدم قاعدة الضرب لتوسيع التعبيرات الجبرية وجعلها أكثر بساطة.

2. استبدال القيم والتعبيرات: نستبدل القيم أو التعبيرات بقيم مكافئة لتبسيط العملية الحسابية.

3. التعبيرات المربعية: نستخدم خصائص التعبيرات المربعية والعلاقات بينها لتبسيط التعبيرات وفهم سلوكها.

4. الحد الأقصى والحد الأدنى: نستخدم فهمنا للعلاقات الرياضية لتحديد الحدود العليا والسفلى للتعبيرات.

الآن، سنعمق في الحل:

لدينا $a + b + c = 0$، ونريد إيجاد مجموعة القيم الممكنة للتعبير $ab + ac + bc$.

نبدأ بتوسيع التعبير $ab + ac + bc$:
$ab + ac + bc = a(b + c) + bc = a(-a) + bc = -a^2 + bc$

ثم، نستبدل $a$ باستخدام الشرط المعطى $a = -(b + c)$:
$ab + ac + bc = -(-(b+c))^2 + bc = -(b+c)^2 + bc = -b^2 – 2bc – c^2 + bc = -(b^2 + c^2 + bc)$

الآن، نرى أن التعبير $ab + ac + bc$ متعلق بتعبير $b^2 + c^2 + bc$.

نعلم أنه بما أن $b$ و $c$ هما أعداد حقيقية، فإن $b^2$ و $c^2$ ستكون غير سالبة. بالإضافة إلى ذلك، $bc$ يمكن أن يكون سالبًا.

بما أننا نريد أقل قيمة ممكنة للتعبير $b^2 + c^2 + bc$، فإننا نحاول تقليل قيم $b^2$ و $c^2$ وتحويل $bc$ إلى قيمة سالبة.

لذا، نستنتج أن أصغر قيمة ممكنة للتعبير $b^2 + c^2 + bc$ هي صفر. وبالتالي، أصغر قيمة ممكنة للتعبير $ab + ac + bc$ هي $-\infty$.

إذاً، المجموعة الكاملة للقيم الممكنة للتعبير $ab + ac + bc$ هي $(-\infty, 0]$، حيث تتضمن جميع الأعداد السالبة والصفر.

وهكذا، نكون قد حللنا المسألة باستخدام التوسيع الجبري وفهم العلاقات بين التعبيرات الرياضية.