تحليل رياضي: فارق زمني بين حافلتين

الباصان أ و ب ينطلقان من محطة الحافلات الساعة X. ينطلق الباص أ في خط مستقيم بعيدًا عن الباص ب بسرعة ثابتة قدرها 30 ميلاً في الساعة. بعد ساعة واحدة، يبدأ الباص ب في السفر في اتجاه معاكس بسرعة ثابتة تبلغ 50 ميلاً في الساعة. إذا استمر الباصان في السفر إلى مالا نهاية، ما هو الفارق الإيجابي، بالدقائق، بين الوقت اللازم للباص ب لتغطية المسافة التي قطعها الباص أ والوقت اللازم للباص ب لتغطية ضعف المسافة التي قطعها الباص أ؟

الحل:

لنحسب الزمن اللازم للباص أ لتغطية المسافة التي قطعها ب الباص ب. سنستخدم المعادلة التالية:

$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}}$

لدينا المسافة التي سافرها الباص أ هي $30t$ (حيث $t$ هو الزمن بالساعات) وسرعة الباص ب هي $50$ ميلا في الساعة، لذا:

$\text{الزمن للباص ب لتغطية المسافة التي قطعها الباص أ} = \frac{30t}{50}$

الآن، لنحسب الزمن اللازم للباص ب لتغطية ضعف المسافة التي قطعها الباص أ. المسافة هنا هي $2 \times 30t$ وسرعة الباص ب هي $50$ ميلا في الساعة، لذا:

$\text{الزمن للباص ب لتغطية ضعف المسافة التي قطعها الباص أ} = \frac{2 \times 30t}{50}$

الفارق بين هذين الزمنين يكون:

$\text{الفارق} = \frac{30t}{50} – \frac{2 \times 30t}{50}$

المصطلح المشترك في الكسرين هو $\frac{30t}{50}$، لذا يمكننا تبسيط الفارق إلى:

$\text{الفارق} = \frac{30t}{50} \times (1 – 2)$

الذي يساوي:

$\text{الفارق} = -\frac{30t}{50}$

لكننا نريد الفارق بالدقائق، لذا سنحول الزمن من الساعات إلى الدقائق (حيث 1 ساعة تساوي 60 دقيقة):

$\text{الفارق بالدقائق} = -\frac{30t}{50} \times 60$

نقوم بتبسيط الكسر:

$\text{الفارق بالدقائق} = -\frac{3}{5} \times 60t$

الآن، لنستخدم القيمة المعروفة للزمن $t$ وهي ساعة واحدة:

$\text{الفارق الإيجابي بالدقائق} = -\frac{3}{5} \times 60 \times 1$

الحساب يعطي:

$\text{الفارق الإيجابي بالدقائق} = -36$

إذا كان الفارق الإيجابي هو 36 دقيقة.

سأقدم الآن شرحاً مفصلاً لحل المسألة وسأستعرض القوانين التي تم استخدامها في الحل.

المسألة:
الهدف هو حساب الفارق الإيجابي، بالدقائق، بين الزمن الذي يستغرقه الباص ب لتغطية المسافة التي سافرها الباص أ، والزمن الذي يستغرقه لتغطية ضعف تلك المسافة.

الحل:

1. نستخدم معادلة الزمن التي تعبر عن العلاقة بين المسافة والسرعة ($الزمن = \frac{المسافة}{السرعة}$).

2. نحسب الزمن الذي يحتاجه الباص ب لتغطية المسافة التي قطعها الباص أ. نستخدم المعادلة:
   $\text{الزمن للباص ب لتغطية المسافة التي قطعها الباص أ} = \frac{30t}{50}$
   حيث $t$ هو الزمن بالساعات.

3. نحسب الزمن الذي يحتاجه الباص ب لتغطية ضعف تلك المسافة. نستخدم المعادلة:
   $\text{الزمن للباص ب لتغطية ضعف المسافة التي قطعها الباص أ} = \frac{2 \times 30t}{50}$

4. نحسب الفارق بين الزمنين:
   $\text{الفارق} = \frac{30t}{50} – \frac{2 \times 30t}{50}$

5. نقوم بتبسيط الفارق:
   $\text{الفارق} = -\frac{30t}{50}$

6. نحسب الفارق بالدقائق، ولتحويل ساعة إلى دقائق نضرب في 60:
   $\text{الفارق بالدقائق} = -\frac{3}{5} \times 60t$

7. نستخدم القيمة المعروفة للزمن ($t = 1$ ساعة) للحصول على الفارق الإيجابي:
   $\text{الفارق الإيجابي بالدقائق} = -\frac{3}{5} \times 60 \times 1$
   $\text{الفارق الإيجابي بالدقائق} = -36$

القوانين المستخدمة:

1. معادلة الزمن والمسافة: العلاقة بين المسافة والزمن عند سرعة ثابتة ($الزمن = \frac{المسافة}{السرعة}$).
2. السرعة النسبية: عندما يتحرك الباص ب بعيدًا بسرعة ثابتة عن الباص أ، فإن السرعة النسبية تكون فارق السرعتين ($سرعة_{نسبية} = سرعة_ب – سرعة_أ$).
3. تحويل الزمن: لتحويل الزمن من ساعات إلى دقائق ($1 ساعة = 60 دقيقة$).

تم استخدام هذه القوانين لحساب الزمن والفارق بين الزمنين بشكل دقيق.