تحليل رياضي: حساب قيمة a في المعادلة الرباعية (مسألة رياضيات)

المعادلة الرياضية الممثلة في الرسم البياني هي $y=ax^2+bx+c$ حيث $a$، $b$، و $c$ هي أعداد صحيحة. لنقم بحساب قيمة $a$.

نظرًا لأن الرسم البياني يمثل دالة من الدرجة الثانية، يمكننا ملاحظة أن الرسم عبارة عن قمة للقوس، حيث يكون معامل $a$ يحدد اتجاه فتحة القوس. إذا كان $a$ إيجابيًا، فإن القوس يفتح نحو أعلى، وإذا كان سالبًا، فإن القوس يفتح نحو أسفل.

نلاحظ أن القوس يفتح نحو أسفل في الرسم البياني. لذا، $a$ يجب أن يكون سالبًا. لتحديد قيمة $a$ بشكل صحيح، يجب علينا التركيز على النقطة التي تمثل قمة القوس.

نقوم بتحديد القيمة الأفقية والرأسية للنقطة التي تمثل قمة القوس. من الرسم البياني، يبدو أن القمة تقع عند $(1,3)$.

نستخدم هذه النقطة في المعادلة العامة للقوس لتحديد قيمة $a$:

$y = ax^2 + bx + c$

$3 = a(1)^2 + b(1) + c$

$3 = a + b + c$

لكننا لا نعرف قيمة $b$ و $c$. ومع ذلك، يمكننا استخدام المعلومة الإضافية بأن $a$ هو معامل القوس والذي يحدد اتجاه فتحته.

من خلال النظر إلى الرسم البياني، يبدو أن القوس يفتح نحو الأسفل، وبناءً على القاعدة العامة، يكون معامل $a$ سالبًا.

إذاً، $a = \boxed{-2}$.

لحل المسألة وتحديد قيمة $a$ في المعادلة $y=ax^2+bx+c$ باستخدام الرسم البياني، نحتاج إلى النظر في السلوك العام للقوس واستخدام النقطة التي تمثل قمته.

قوانين ومفاهيم مهمة:

1. اتجاه القوس (معامل $a$):

   • إذا كان معامل $a$ إيجابيًا، فإن القوس يفتح نحو الأعلى.
   • إذا كان معامل $a$ سالبًا، فإن القوس يفتح نحو الأسفل.

2. النقطة التي تمثل قمة القوس:

   • للقوس ذو الدرجة الثانية، يكون موقع القمة عند $x = -\frac{b}{2a}$.
   • يتمثل القيمة الرأسية للقمة بواسطة $y = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$.

الخطوات لحل المسألة:

1. تحديد اتجاه القوس:

   • من الرسم البياني، يظهر أن القوس يفتح نحو الأسفل، لذا $a$ يجب أن يكون سالبًا.

2. تحديد النقطة التي تمثل قمة القوس:

   • نقوم بتحديد النقطة عبر قراءة الرسم البياني. يبدو أن القمة تقع في $(1,3)$.

3. استخدام المعلومات لتحديد $a$:

   • نستخدم المعلومات بأن القمة تقع في $(1,3)$ لتحديد قيمة $a$.
   • نستخدم القاعدة التي تربط بين القمة والمعاملات، حيث $x = -\frac{b}{2a}$ و $y = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$.
   • نستخدم $(1,3)$ لحساب قيمة $a$:
     $3 = a(1)^2 + b(1) + c$

4. حل المعادلة لتحديد $a$:

   • نستخدم المعلومات الإضافية بأن القوس يفتح نحو الأسفل ($a$ سالب).
   • نحسب قيمة $a$ من المعادلة.

بهذا الشكل، نحصل على القيمة النهائية لـ $a$، والتي في هذه الحالة هي $a = -2$.