تحليل دوال وتحديد مجالاتها ونطاقاتها (مسألة رياضيات)

الدالة $f$ لديها نطاق يتراوح بين $[0, 2]$، حيث يُرمز الرمز $[a, b]$ إلى ${x: a \le x \le b}$.
لنقم بتعريف دالة جديدة $g(x)$ بالشكل التالي:
$g(x) = 1 – f(x + 1).$
نود العثور على مجال $g(x)$ ونطاقها. إن نطاق $g(x)$ يكون متساوياً للفرق بين 1 وقيم $f(x + 1)$، وهو يعكس النطاق الأصلي للدالة $f$.

لحساب المجال، نقوم بتعويض القيم المحددة للمتغير $x$ في $g(x)$ ونحسب النتائج. نعلم أن $f$ تأخذ قيمها في المجال $[0, 2]$، لذا $f(x + 1)$ ستأخذ قيمها في المجال $[1, 3]$. بعد ذلك نقوم بطرح هذه القيم من 1 للحصول على نطاق $g(x)$.

الآن، نقوم بتحديد النطاق والمجال. إن المجال هو الفترة التي تتراوح فيها $x$، والنطاق هو مجموعة القيم التي يمكن أن تأخذها $g(x)$. بناءً على السياق المعطى، يمكن تحديد الجواب على أن يكون المجال هو $[a, b]$ والنطاق هو $[c, d]$.

إذا كانت الإجابة المعطاة للمسألة هي $(-1, 1, 0, 1)$، فإنه يمكننا استخدام هذه القيم لتحديد القيم الغير معروفة $a، b، c، d$. بالتحديد:

$a = -1, \quad b = 1, \quad c = 0, \quad d = 1.$

الآن، نحن على استعداد للإجابة على السؤال الثاني حول القيمة المجهولة $X$.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، نبدأ باستخدام الدالة $f$ التي تم تعريفها على المجال $[0, 2]$، ونعرف الدالة $g(x)$ بالتالي:
$g(x) = 1 – f(x + 1).$

للعثور على المجال والنطاق، نبدأ بحساب قيم $f(x + 1)$ عند أقل وأقصى قيم للمجال $[0, 2]$. عندما نقوم بتعويض $x = 0$، نحصل على $f(1)$، وعند تعويض $x = 2$، نحصل على $f(3)$. الآن نقوم بطرح هذه القيم من 1 للحصول على نطاق $g(x)$:
$g(0) = 1 – f(1), \quad g(2) = 1 – f(3).$

إذاً، لدينا:
$g(0) = 1 – f(1), \quad g(2) = 1 – f(3).$

الآن، لحساب $g(0)$ و $g(2)$، نستخدم القيم المعطاة لنا في الإجابة: $a = -1, b = 1, c = 0, d = 1$. بالتعويض نحصل على:
$g(0) = 1 – f(1) = 1 – c = 1 – 0 = 1,$
$g(2) = 1 – f(3) = 1 – d = 1 – 1 = 0.$

إذاً، نطاق $g(x)$ هو $[0, 1]$.

أما بالنسبة للمجال، فإنه يتم تحديده بالقيم المسموح بها لـ $x$. وبما أن المجال الأصلي لـ $f$ هو $[0, 2]،$ يمكننا إيجاد المجال لـ $g(x)$ بطرح 1 من الحدود السفلى والعليا للمجال الأصلي:
$a = -1, \quad b = 1.$

لذا، المجال لـ $g(x)$ هو $[-1, 1]$.

فيما يلي القوانين المستخدمة:

1. تعريف الدوال: تعريف الدوال $f$ و $g$ وفهم كيفية تمثيلها بالتعبير الرياضي.
2. العمليات الأساسية على الدوال: استخدام العمليات الأساسية (الجمع والطرح والضرب والقسمة) للدوال للحسابات.
3. حساب المجال والنطاق: استخدام المفاهيم الرياضية لحساب مجال ونطاق الدوال.
4. استخدام القواعد الحسابية: استخدام القواعد الحسابية الأساسية لتحديد قيم الدوال في نقاط معينة.

هذه القوانين تُستخدم بشكل أساسي لفهم وحل المسألة بشكل دقيق.