تحليل دالة الكسر 1/x^2 (مسألة رياضيات)

المسألة:

حدد نطاق الدالة $f(x) = \frac{1}{x^2}$.

الحل:

لنبدأ في تحليل هذه المسألة الرياضية بدءًا من الدالة المعطاة $f(x) = \frac{1}{x^2}$. يظهر أن الدالة تتألف من متغير $x$ في القاهرة (المقام) وهذا يعني أننا يجب أن نأخذ في اعتبارنا أي قيم لـ $x$ قد تؤدي إلى قيمة غير معرفة في المقام. إذاً، نبدأ بفحص النطاق.

لنبدأ بفحص القيم الممكنة لـ $x$. يلاحظ أن $x$ لا يمكن أن يكون صفرًا لأننا لا نستطيع قسمة على صفر. لكن $x$ يمكن أن يكون أي عدد آخر (إيجابي أو سالب).

لفهم السلوك العام للدالة، نأخذ في اعتبارنا تأثير ترتيب الأسس. إذا كان $x$ إيجابي، فإن $x^2$ سيكون إيجابيًا أيضًا. وبالتالي، $\frac{1}{x^2}$ ستكون إيجابية. وعلى الجانب الآخر، إذا كان $x$ سالبًا، فإن $x^2$ سيكون أيضًا إيجابيًا، وبالتالي $\frac{1}{x^2}$ ستكون إيجابية أيضًا.

لذا، يمكننا أن نستنتج أن الدالة $f(x) = \frac{1}{x^2}$ تأخذ قيمًا إيجابية لجميع قيم $x$ باستثناء $x = 0$ (حيث يكون المقام صفرًا).

بالتالي، نطاق الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية الموجبة وصفر ($x \in \mathbb{R^+} \cup \{0\}$).

بالطبع، دعونا نقوم بتحليل أكثر تفصيلاً لهذه المسألة الرياضية واستخدام القوانين المناسبة.

نعلم أن الدالة المعطاة هي $f(x) = \frac{1}{x^2}$. لفهم السلوك العام للدالة، يمكننا استخدام قوانين الجبر. نبدأ بتحليل القيم الممكنة لـ $x$.

1. قيم $x$: يمكن لـ $x$ أن يكون أي عدد حقيقي باستثناء صفر، لأننا لا نستطيع قسمة على صفر. لذا $x \neq 0$.

2. تأثير ترتيب الأسس: نعلم أن $x^2$ يكون إيجابيًا لجميع قيم $x$ باستثناء صفر. إذاً، $\frac{1}{x^2}$ ستكون إيجابية.

بالتالي، يمكننا القول إن الدالة $f(x) = \frac{1}{x^2}$ تأخذ قيمًا إيجابية لجميع قيم $x$ باستثناء $x = 0$ حيث يكون المقام صفرًا.

لقد استخدمنا هنا قوانين الجبر لتحليل الدالة، بما في ذلك قانون حساب الأسس وقوانين الكسور. الفحص الدقيق للقيم الممكنة لـ $x$ وتأثير ترتيب الأسس كانا جزءًا أساسيًا من الحل.

يُمكن تمثيل الحل بشكل رياضي كالتالي:

$f(x) = \frac{1}{x^2}, \quad x \neq 0$

$\text{Range of } f(x): \{ f(x) \in \mathbb{R}^+ \cup \{0\} \}$

هذا يشير إلى أن قيم $f(x)$ هي جميع الأعداد الحقيقية الموجبة وصفر.