تحليل الكسور الجزئية: حلول المعادلات الكسرية (مسألة رياضيات)

نريد تقسيم الكسر الجزئي إلى كسور جزئية، لذا نفترض أن:
$\frac{1}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2} + \frac{D}{x + 3} + \frac{E}{x + 4}$

لإيجاد قيم الثوابت $A$ و $B$ و $C$ و $D$ و $E$ ، يجب علينا تخليص الكسر الأصلي من الجهة اليمنى من المعادلة. يمكننا القيام بذلك عن طريق ضرب الجزء الأيمن من المعادلة بمضاعفات مشتركة للعوامل في المقام على الجهة اليسرى.

بما أن العوامل في المقام هي $x$ و $x + 1$ و $x + 2$ و $x + 3$ و $x + 4$ ، نضرب الكسر الجزئي بالتالي:
$\frac{1}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)} = \frac{A(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)}{x} + \frac{Bx(x + 2)(x + 3)(x + 4)}{x + 1} + \frac{Cx(x + 1)(x + 3)(x + 4)}{x + 2} + \frac{Dx(x + 1)(x + 2)(x + 4)}{x + 3} + \frac{Ex(x + 1)(x + 2)(x + 3)}{x + 4}$

الآن، يمكننا توحيد الأجزاء الجزئية من الكسر الجزئي عن طريق جمع الأعوام المتعلقة بكل جزء.

لنبدأ بتوحيد الأعوام:
$1 = A(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + Bx(x + 2)(x + 3)(x + 4) + Cx(x + 1)(x + 3)(x + 4) + Dx(x + 1)(x + 2)(x + 4) + Ex(x + 1)(x + 2)(x + 3)$

الآن، يجب علينا حل هذه المعادلة للحصول على قيم $A$ و $B$ و $C$ و $D$ و $E$ .

من المعادلة السابقة، نلاحظ أنه عند $x = 0$ ، يتبين أن $A$ يساوي $\frac{1}{24}$.

وعند $x = -1$ ، نجد أن $B$ يساوي $-\frac{1}{12}$.

وعند $x = -2$ ، نجد أن $C$ يساوي $\frac{1}{8}$.

وعند $x = -3$ ، نجد أن $D$ يساوي $-\frac{1}{6}$.

وأخيرًا، عند $x = -4$ ، نجد أن $E$ يساوي $\frac{1}{24}$.

لذا، نجد قيمة الجمع $A + B + C + D + E$ هي:
$\frac{1}{24} – \frac{1}{12} + \frac{1}{8} – \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = 0$

لحل المسألة باستخدام جزئيات الكسور، نحتاج إلى تحليل الكسر الأصلي إلى جزئيات صغيرة يمكننا التعامل معها بسهولة أكبر. يتم ذلك عن طريق تحليل الكسر الأصلي إلى كسور جزئية تحتوي على درجات منخفضة من الأساليب.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة التحليل الجزئي: يمكن تقسيم كسر جزئي إلى كسور جزئية أصغر عن طريق تحليل الكسر الأصلي إلى جملة من الكسور البسيطة.

2. ضرب التوسيع الكامل: يتم ضرب الكسر الجزئي بمضاعفات مشتركة للعوامل في المقام لتوحيد الجزئيات.

3. تحديد القيم: يتم تحديد قيم الثوابت المجهولة من خلال مطابقة معاملات الجزئيات المتعددة لمعاملات الكسر الأصلي.

لنقوم بحساب الثوابت:
الكسر الأصلي:
$\frac{1}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)}$
يمكن تحليله إلى:
$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2} + \frac{D}{x + 3} + \frac{E}{x + 4}$

بعد ضرب كل جزء بالمضاعفات المناسبة وتوحيد الأعوام، نحصل على معادلة كلية. بمطابقة معاملات كل جزء لمعاملات الكسر الأصلي، يمكننا حساب القيم المجهولة.

بالحساب، يتبين أن:
$A = \frac{1}{24}, \, B = -\frac{1}{12}, \, C = \frac{1}{8}, \, D = -\frac{1}{6}, \, E = \frac{1}{24}$

ثم يمكننا جمع الثوابت:
$A + B + C + D + E = \frac{1}{24} – \frac{1}{12} + \frac{1}{8} – \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = 0$

وبالتالي، قيمة $A + B + C + D + E$ تساوي صفر كما هو مطلوب.