تحليل القيم المطلقة والكسور (مسألة رياضيات)

لنكن $x$ و $y$ عددين حقيقيين غير صفر. نريد إيجاد القيمتين الدنيا والعظمى للتعبير
$\frac{|x + y|}{|x| + |y|}.$

للبداية، دعونا ننظر في الجهاز الذي يظهر في الحقيبة المطلوبة، وهو
$|x + y|.$
إن هذا الجزء يمثل المسافة البينية بين نقطتين على الخط العددي، إحداهما في $x$ والأخرى في $y$. هذا الجزء سيكون إما $x + y$ إذا كانت $x + y$ إيجابية أو صفر، أو $-(x + y)$ إذا كانت $x + y$ سالبة.

الجزء الثاني في المعادلة هو
$|x| + |y|.$
هذا يشير إلى مجموع المسافتين المطلقتين من الصفر إلى $x$ و $y$ على الخط العددي.

التعبير الذي نريد حسابه هو النسبة بين هاتين المقادير، أي
$\frac{|x + y|}{|x| + |y|}.$

لنبدأ بالنظر إلى حالة $x + y$ إيجابية أو صفر. في هذه الحالة، فإن $|x + y| = x + y$، والتعبير يصبح
$\frac{x + y}{|x| + |y|}.$
لكن لاحظ أن $|x|$ هو المسافة المطلقة بين الصفر و $x$، وبالتالي $|x| = x$ إذا كان $x$ إيجابيًا أو صفرًا، و $|x| = -x$ إذا كان $x$ سالبًا. نفس الشيء ينطبق على $|y|$.

إذاً، نستنتج أن التعبير يمكن أن يكون إما
$\frac{x + y}{x + y}, \quad \text{إذا كانت } x + y \geq 0,$
أو
$\frac{x + y}{-x – y}, \quad \text{إذا كانت } x + y < 0.$

الآن، لننظر في حالة $x + y$ سالبة. في هذه الحالة، $|x + y| = -(x + y)$، والتعبير يصبح
$\frac{-(x + y)}{|x| + |y|}.$
لكن مثلما شرحنا سابقًا، $|x| = -x$ إذا كان $x$ إيجابيًا أو صفرًا، و $|x| = x$ إذا كان $x$ سالبًا. الشيء نفسه ينطبق على $|y|$.

إذاً، نستنتج أن التعبير يمكن أن يكون إما
$\frac{-(x + y)}{-x – y}, \quad \text{إذا كانت } x + y < 0,$
أو
$\frac{-(x + y)}{x + y}, \quad \text{إذا كانت } x + y \geq 0.$

الآن، لنقم بتبسيط هذه الحالات. في الحالة الأولى، حيث $x + y \geq 0$، يمكننا إلغاء القيم المطلقة في المقام:
$\frac{x + y}{x + y} = 1.$

في الحالة الثانية، حيث $x + y < 0$، نلاحظ أن $-(x + y) = |x + y|$، لذا التعبير يصبح $\frac{|x + y|}{-x – y}.$
نستطيع إلغاء القيم المطلقة في العداد والمقام:
$\frac{x + y}{-x – y} = -1.$

لنجمع النتائج، في الحالة $x + y \geq 0$، القيمة الصغرى للتعبير هي $1$، والقيمة الكبرى هي $1$ أيضًا، لذا $M – m = 0$. في الحالة $x + y < 0$، القيمة الصغرى هي $-1$، والقيمة الكبرى هي $1$، لذا $M - m = 2$.

بالتالي، إجابتنا النهائية هي $M – m = 2$.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل الحالات المختلفة لقيم $x$ و $y$ ونستخدم القوانين التالية:

1. قانون مسافة المطلقة:
   $|a| = \begin{cases} a & \text{إذا كان } a \geq 0, \\ -a & \text{إذا كان } a < 0. \end{cases}$

2. تبسيط الكسور:
   $\frac{a}{b} = \frac{-a}{-b}.$

لنبدأ بالتحليل:

أولاً، نقسم الحالات إلى حسب إشارة $x + y$.

حالة 1: $x + y \geq 0$

في هذه الحالة، نعلم أن
$|x + y| = x + y.$
وأيضاً
$|x| = \begin{cases} x & \text{إذا كان } x \geq 0, \\ -x & \text{إذا كان } x < 0. \end{cases}$
و
$|y| = \begin{cases} y & \text{إذا كان } y \geq 0, \\ -y & \text{إذا كان } y < 0. \end{cases}$

إذاً، التعبير
$\frac{|x + y|}{|x| + |y|} = \frac{x + y}{x + y} = 1.$

حالة 2: $x + y < 0$

في هذه الحالة، نعلم أن
$|x + y| = -(x + y).$
وأيضاً
$|x| = \begin{cases} x & \text{إذا كان } x \geq 0, \\ -x & \text{إذا كان } x < 0. \end{cases}$
و
$|y| = \begin{cases} y & \text{إذا كان } y \geq 0, \\ -y & \text{إذا كان } y < 0. \end{cases}$

إذاً، التعبير
$\frac{|x + y|}{|x| + |y|} = \frac{-(x + y)}{-x – y} = \frac{x + y}{x + y} = -1.$

الآن، لنحسب القيم القصوى والقيم الدنيا لهذا التعبير:

• في حالة $x + y \geq 0$، القيمة الصغرى والكبرى هي $1$.

• في حالة $x + y < 0$، القيمة الصغرى هي $-1$ والكبرى هي $1$.

إذاً، القيمة القصوى للتعبير هي $1$ والقيمة الدنيا هي $-1$.

الفارق بينهما هو:
$M – m = 1 – (-1) = 2.$

لقد استخدمنا قوانين مسافة المطلقة وتبسيط الكسور لتبسيط التعبير والوصول إلى الإجابة النهائية.