تحليل الدالة الخطية: نطاق القيم مع $a < 0$ (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي كالتالي:

إذا كانت $f(x)$ هي دالة معرفة فقط للقيم في المجال $0 \le x \le 1$، و $f(x) = ax + b$ حيث $a < 0$، فما هو نطاق $f$ بالنسبة للثوابت $a$ و $b$؟ قم بالتعبير عن إجابتك باستخدام تمثيل الفترات.

الحل:

لنحسب نطاق الدالة $f(x) = ax + b$ في المجال $0 \le x \le 1$. بما أن $a < 0$، فإنه يعني أن المعامل $a$ هو عدد سالب.

لنرى كيف يتغير الدالة عند زيادة قيم $x$ من 0 إلى 1. عندما نزيد قيم $x$، يقل معامل $ax$ بمقدار موجب نسبياً (نظرًا لأن $a$ سالب)، وبالتالي يكون الجزء $ax$ من الدالة هو تناقص سالب.

أي أن تغيير قيم $x$ من 0 إلى 1 يؤدي إلى تناقص تدريجي في قيم الدالة $f(x)$. هذا يعني أن أقل قيمة ممكنة للدالة هي عند $x=1$، وأعلى قيمة ممكنة هي عند $x=0$.

لحساب القيمة الصغرى، نقوم بوضع $x=1$ في الدالة:

$f(1) = a(1) + b = a + b$

لحساب القيمة الكبرى، نقوم بوضع $x=0$ في الدالة:

$f(0) = a(0) + b = b$

إذاً، نطاق الدالة هو من $a + b$ إلى $b$ في المجال $0 \le x \le 1$. يمكننا التعبير عن هذا النطاق باستخدام تمثيل الفترات كالتالي:

$[a + b, b]$

بالتأكيد، سنقوم بتفصيل الحل لهذه المسألة الرياضية بشكل أكبر، مع الإشارة إلى القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل.

المسألة:
إذا كانت $f(x)$ هي دالة معرفة فقط للقيم في المجال $0 \le x \le 1$، و $f(x) = ax + b$ حيث $a < 0$، فما هو نطاق $f$ بالنسبة للثوابت $a$ و $b$؟

الحل:

1. التحليل الرياضي:

   • نعلم أن $a < 0$، الأمر الذي يشير إلى أن المعامل $a$ هو عدد سالب.
   • الدالة $f(x) = ax + b$ هي دالة خطية بتكوين $ax$، ونعلم أن الزيادة في قيم $x$ تؤدي إلى تناقص في قيم الدالة نتيجة للاشتمال للمعامل $a$ السالب.

2. حساب قيم الدالة عند الحدود:

   • نقوم بحساب قيم الدالة $f(x)$ عند حدود المجال المعطى.
     • للحد الأقصى ($x=1$): $f(1) = a(1) + b = a + b$
     • للحد الأدنى ($x=0$): $f(0) = a(0) + b = b$

3. تمثيل النطاق باستخدام تمثيل الفترات:

   • نحصل على القيم الحدية ($a+b$ و $b$) ونمثلها في تمثيل الفترات.
     • نطاق الدالة هو $[a + b, b]$.

القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. تأثير المعامل $a$ على الدالة:

   • عندما يكون المعامل $a$ سالبًا، يؤدي ذلك إلى تناقص تدريجي في قيم الدالة مع زيادة قيم $x$.

2. حساب قيم الدالة عند الحدود:

   • نستخدم الحدود السفلى والعليا للمجال لحساب القيم الحدية للدالة.

3. تمثيل النطاق باستخدام تمثيل الفترات:

   • نمثل نطاق الدالة باستخدام تمثيل الفترات لتوضيح القيم الحدية.

بهذا الشكل، نكون قد قمنا بحل المسألة بشكل تفصيلي واستخدمنا القوانين الرياضية المناسبة لفهم وتفسير الحل.