تحليل التحول الطوري لدالة جيبية. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

العثور على التحول الطوري للرسم البياني للدالة $y = 3 \sin \left( x – \frac{\pi}{5} \right).$

الحل:

نعلم أن الدالة السينية بشكل عام تأخذ شكلًا منحنيًا يتكرر كل دورة $2\pi.$ في هذه الحالة، لدينا معامل التحول الطوري $b = 1$ (نلاحظ أن $b$ يكون عبارة عن العدد الموجود في داخل القوس في الدالة السينية أو الكوسينية).

يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب التحول الطوري:

$\text{تحول طوري (Phase Shift)} = -\frac{c}{b},$

حيث $c$ هو العدد الموجود بداخل القوس في الدالة السينية أو الكوسينية، و $b$ هو معامل التحول الطوري.

بالتطبيق في هذه الحالة، نجد أن $c = -\frac{\pi}{5}$ و $b = 1.$

$\text{تحول طوري (Phase Shift)} = -\frac{-\frac{\pi}{5}}{1} = \frac{\pi}{5}.$

إذا كان التحول الطوري للدالة $y = 3 \sin \left( x – \frac{\pi}{5} \right)$ هو $\frac{\pi}{5}.$

بالطبع، دعونا نقوم بحل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام القوانين المستخدمة في الحل.

المسألة:
العثور على التحول الطوري للرسم البياني للدالة $y = 3 \sin \left( x – \frac{\pi}{5} \right).$

الحل:

1. تحليل الدالة:
   نعلم أن الدالة $y = 3 \sin \left( x – \frac{\pi}{5} \right)$ هي دالة جيبية، حيث تتبع شكل موجة السين في اتجاه رأسي (upward) بمعامل تضخيم $3.$ القيمة داخل القوس $x – \frac{\pi}{5}$ تؤثر في التحول الطوري للدالة.

2. التحول الطوري:
   يتم تحديد التحول الطوري باستخدام معادلة $y = a \sin(bx + c),$ حيث $a$ هو معامل التضخيم، و $b$ هو معامل التردد، و $c$ هو التحول الطوري. في هذه الحالة، لدينا $a = 3,$ $b = 1,$ و $c = -\frac{\pi}{5}.$

   يستخدم القانون التالي لحساب التحول الطوري:
   $\text{تحول طوري (Phase Shift)} = -\frac{c}{b}.$

3. حساب التحول الطوري:
   قمنا بتعويض القيم في المعادلة:
   $\text{تحول طوري (Phase Shift)} = -\frac{-\frac{\pi}{5}}{1} = \frac{\pi}{5}.$

   إذًا، التحول الطوري للدالة $y = 3 \sin \left( x – \frac{\pi}{5} \right)$ هو $\frac{\pi}{5}.$

باختصار، استخدمنا القوانين التالية:

• صيغة الدالة السينية: $y = a \sin(bx + c)$
• قانون حساب التحول الطوري: $\text{تحول طوري} = -\frac{c}{b}$

وقمنا بتطبيقها للعثور على التحول الطوري للدالة المعطاة.