تحقيق استمرارية الدالة القطعية عند نقطة التقاطع (مسألة رياضيات)

لجعل الدالة قطعية مستمرة (وهذا يعني أن رسم الدالة يمكن رسمه دون رفع القلم عن الورقة)، يجب أن يكون لدينا قيمة محددة للمتغير $a$ في الدالة $f(x)$ حيث:

لحل هذه المسألة، نحتاج أولاً إلى فهم الظروف التي تجعل الدالة $f(x)$ قطعية مستمرة. القاعدة الأساسية هي أن تكون قيم الدالة متساوية عند نقطة الانتقال بين القسمين اللذين يحدث فيهما التغيير. في هذه الحالة، نريد أن نجعل $f(x)$ مستمرة في $x=3$.

الدالة $f(x)$ مكونة من قسمين:

1. عندما يكون $x>3$: $f(x) = x + 2$
2. عندما يكون $x \leq 3$: $f(x) = 2x + a$

الآن، نقوم بتعيين القيم في نقطة التقاطع، وهي $x=3$:

$x + 2 = 2x + a$

نطرح $x$ من الطرفين:

$2 – x = a$

هنا تكمن القاعدة الرئيسية التي تم استخدامها: لجعل الدالة مستمرة في نقطة التقاطع، يجب أن تكون قيم الدالة متساوية على الجانبين المتصلين. في هذه الحالة، استخدمنا هذه القاعدة لتحديد قيمة $a$.

الآن، نقوم بتعويض $x=3$ في المعادلة:

$a = 2 – 3 = -1$

لذلك، قيمة المتغير $a$ التي تجعل الدالة $f(x)$ مستمرة عند $x=3$ هي $-1$.

لخلاصة القوانين المستخدمة:

1. القاعدة الرئيسية للاستمرارية: لجعل الدالة مستمرة في نقطة، يجب أن تكون قيم الدالة متساوية على الجانبين المتصلين لتلك النقطة.
2. حل المعادلات: نستخدم حساب المعادلات لحساب القيم المطلوبة. في هذه الحالة، كنا نستخدم المعادلة لتحديد قيمة $a$.