تحضير الفاج: الزمن والحرارة (مسألة رياضيات)

يقوم أندي بتحضير الفاج الحلو. يحتاج أولاً إلى رفع درجة حرارة خليط الحلوى من 60 درجة إلى 240 درجة. ثم يحتاج إلى تبريده إلى 170 درجة. إذا كانت سرعة ارتفاع حرارة الحلوى 5 درجات في الدقيقة وسرعة تبريدها 7 درجات في الدقيقة، فكم سيستغرق الأمر ليكتمل تحضير الحلوى؟

لنقم بحساب الزمن اللازم للارتفاع في الحرارة أولاً. الفارق في درجات الحرارة هو 240 – 60 = 180 درجة. بمعدل ارتفاع حرارة 5 درجات في الدقيقة، يحتاج أندي إلى:

$\frac{180 \, \text{درجة}}{5 \, \text{درجات/دقيقة}} = 36 \, \text{دقيقة}$

الآن، لنحسب الزمن الذي يحتاجه لتبريد الحلوى. الفارق في درجات الحرارة هو 240 – 170 = 70 درجة. بمعدل تبريد 7 درجات في الدقيقة، يحتاج إلى:

$\frac{70 \, \text{درجة}}{7 \, \text{درجات/دقيقة}} = 10 \, \text{دقائق}$

الإجمالي للوقت اللازم هو مجموع الزمنين، أي:

$36 \, \text{دقيقة (للارتفاع)} + 10 \, \text{دقائق (للتبريد)} = 46 \, \text{دقيقة}$

إذا، سيستغرق تحضير الحلوى الفاج وتبريدها 46 دقيقة.

لحل هذه المسألة، نستخدم قانون ارتباط الحرارة الحسابية الذي يعبر عن العلاقة بين الكمية من الحرارة المنتقلة والتغير في درجة الحرارة والوقت. يُعبَّر هذا القانون بالمعادلة:

$Q = mc\Delta T$

حيث:

• $Q$ هو الحرارة المنتقلة (وحدة: الجول).
• $m$ هو كتلة المادة (وحدة: الكيلوغرام).
• $c$ هو سعة حرارية محددة للمادة (وحدة: جول/كيلوجرام.درجة مئوية).
• $\Delta T$ هو التغير في درجة الحرارة (وحدة: درجة مئوية).

لنحسب الوقت اللازم لكل مرحلة:

1. للارتفاع في درجة الحرارة:
   $Q_1 = mc\Delta T_1$
   $Q_1 = (m)(c)(\Delta T_1)$
   $Q_1 = (m)(c)(240 – 60)$

مع العلم أن $c$ للحلوى هو ثابت ويمكننا تمثيله بـ $c_1$.

$Q_1 = m \cdot c_1 \cdot (240 – 60)$

2. للتبريد:
   $Q_2 = mc\Delta T_2$
   $Q_2 = (m)(c)(\Delta T_2)$
   $Q_2 = (m)(c)(240 – 170)$

مع العلم أن $c$ للحلوى في هذه المرحلة هو ثابت ويمكننا تمثيله بـ $c_2$.

$Q_2 = m \cdot c_2 \cdot (240 – 170)$

الوقت اللازم لكل مرحلة يكون بالنسبة لنا:

$t_1 = \frac{Q_1}{\text{قوة التسخين}}$
$t_2 = \frac{Q_2}{\text{قوة التبريد}}$

باستخدام معلومات السؤال حول قوة التسخين وقوة التبريد (5 درجات/دقيقة و 7 درجات/دقيقة على التوالي)، يمكننا الحساب:

$t_1 = \frac{m \cdot c_1 \cdot (240 – 60)}{5}$

$t_2 = \frac{m \cdot c_2 \cdot (240 – 170)}{7}$

الزمن الإجمالي لتحضير الحلوى يكون:

$t_{\text{إجمالي}} = t_1 + t_2$

تحليل البيانات واستخدام القوانين المذكورة يساعد في فهم وحساب الزمن الكلي اللازم لتحضير الحلوى بناءً على متغيرات السؤال.