تحسين الدخل بتقليل ساعات العمل (مسألة رياضيات)

زيادة في الأجر الساعي للعاملة بنسبة 25٪، وقررت تقليل عدد ساعات العمل الأسبوعية بحيث لا تتغير إجمالي دخلها. كم يجب تقريباً تقليل عدد ساعات العمل بنسبة؟

لنقم بتعريف الراتب الساعي الأصلي بـ “س”. بمجرد زيادة 25٪، يصبح الراتب الجديد يساوي 1.25س. الآن، إذا كانت تنوي تقليل عدد ساعات العمل، فلنعتبر عدد الساعات الأصلي كـ “ساعات”.

بما أن الإجمالي يظل ثابتًا، يمكننا كتابة المعادلة التالية:
$\text{الإجمالي الجديد} = \text{الراتب الجديد} \times \text{عدد الساعات الجديد}$
$س \times ساعات = 1.25س \times (ساعات – \Delta ساعات)$

حيث $\Delta ساعات$ هو الزيادة في عدد الساعات. الآن سنقوم بحسابها.

$س \times ساعات = 1.25س \times ساعات – 1.25س \times \Delta ساعات$

$1.25س \times \Delta ساعات = 0.25س \times ساعات$

$\Delta ساعات = \frac{0.25س \times ساعات}{1.25س}$

$\Delta ساعات = \frac{0.25}{1.25} \times ساعات$

$\Delta ساعات = 0.2 \times ساعات$

لذا، يجب تقريباً تقليل عدد ساعات العمل بنسبة 20٪ للحفاظ على الإجمالي الدخل ثابتًا بعد زيادة الراتب.

لنقم بفحص المسألة بشكل أكثر تفصيلاً واستخدام بعض القوانين الرياضية لحلها.

لنفترض أن العدد الأصلي للساعات الأسبوعية التي تعملها العاملة هو $ساعات$ والراتب الساعي الأصلي هو $س$ دولار.

بعد زيادة الأجر بنسبة 25٪، يصبح الراتب الساعي الجديد هو $1.25س$ دولار.

للحفاظ على الإجمالي الدخل ثابتًا، يجب تقليل عدد الساعات بحيث يتناسب مع الزيادة في الأجر. لنستخدم القانون التالي:

$\text{الإجمالي} = \text{الراتب الساعي} \times \text{عدد الساعات}$

وبما أننا نفترض أن الإجمالي ثابت، يمكننا كتابة المعادلة:

$س \times ساعات = 1.25س \times (ساعات – \Delta ساعات)$

حيث $\Delta ساعات$ هو الزيادة في عدد الساعات.

بعد ذلك، نقوم بتبسيط المعادلة:

$س \times ساعات = 1.25س \times ساعات – 1.25س \times \Delta ساعات$

نقوم بتجميع الأشياء المماثلة ونحل للمتغير المجهول $\Delta ساعات$:

$1.25س \times \Delta ساعات = 0.25س \times ساعات$

$\Delta ساعات = \frac{0.25س \times ساعات}{1.25س}$

نقوم بإلغاء العوامل المشتركة:

$\Delta ساعات = \frac{0.25}{1.25} \times ساعات$

$\Delta ساعات = 0.2 \times ساعات$

إذاً، يجب تقريباً تقليل عدد ساعات العمل بنسبة 20٪ للحفاظ على الإجمالي الدخل ثابتًا بعد زيادة الراتب.

القوانين المستخدمة:

1. قانون النسبة:
   $\text{الراتب الجديد} = \text{الراتب الأصلي} \times (1 + \text{النسبة})$

2. قانون الإجمالي:
   $\text{الإجمالي} = \text{الراتب الساعي} \times \text{عدد الساعات}$

3. قانون التناسب:
   $\text{نسبة الزيادة} = \frac{\text{التغيير في الراتب}}{\text{الراتب الأصلي}}$

   $\text{نسبة الزيادة} = \frac{\Delta ساعات}{ساعات}$