تحديد مجال دالة تمام الجيبية (مسألة رياضيات)

الدالة المعطاة هي $f(x) = \tan(\arccos(x^2))$. لنبدأ بتحديد مجال الدالة.

الدالة $\arccos(x)$ معرّفة فقط للقيم في المجال $-1 \leq x \leq 1$، حيث يكون مدخل الدالة ضمن هذا النطاق. وبما أننا نريد أن نقوم بتطبيق القوس جيبي المعكوس على $x^2$، فإن قيم $x^2$ يجب أن تكون بين 0 و1، لأنها النطاق الذي يمكن أن تتخذه $x^2$.

الآن، عندما نأخذ جيب التمام للقيم الموجبة من $x^2$، فإننا نحصل على القيم الإيجابية لل $x$. ومن ثم، عندما نقوم بتطبيق الدالة الجيبية المعكوسة على القيم الإيجابية، نحصل على زوايا في الربع الأول من الدائرة والربع الرابع، حيث يكون القوس الجيبي المعكوس معرفًا.

بعد ذلك، نقوم بتطبيق الدالة الظاهرية $\tan(x)$ على نتيجة الدالة الجيبية المعكوسة، وهنا ينبغي علينا أن ننتبه إلى أن الدالة الظاهرية $\tan(x)$ تكون غير معرفة في النقاط التي يكون فيها المقام صفرًا، وهي $\frac{\pi}{2}$، $\frac{3\pi}{2}$، وهكذا.

بما أننا نعلم أن $\arccos(x^2)$ معرفة فقط في النطاق $0 \leq x^2 \leq 1$، وأنها تولد زوايا في الربع الأول والربع الرابع، وأن $\tan(x)$ غير معرفة عند $\frac{\pi}{2}$ و $-\frac{\pi}{2}$ والمضاعفات المتكررة لها، يجب علينا أن نضع هذه القيود على دالتنا الأصلية.

إذاً، المجال المسموح به ل $x$ هو القيم التي تجعل $x^2$ بين 0 و 1. ونحن نعلم أن $x^2$ سيكون إيجابيًا في هذا السياق، لذا المجال هو $0 \leq x^2 \leq 1$. بما أن $x^2$ يجب أن يكون إيجابيًا، فإن $x$ يمكن أن تكون أكبر من صفر وأصغر من 1، لذا المجال النهائي للدالة هو $0 \leq x < 1$.

بهذا الشكل، المجال الذي تعمل فيه الدالة هو جميع الأرقام الحقيقية من الصفر حتى 1، مع الاحتياط في الحواف التي تجعل المقام في دالة الظاهرية $\tan(x)$ غير معرفة.

لحل مسألة تحديد مجال الدالة $f(x) = \tan(\arccos(x^2))$، نحتاج إلى فهم عدة قوانين ومفاهيم رياضية وتطبيقها على الدالة المعطاة.

1. قانون الدوال المركبة (Composition Rule):
   في هذه المسألة، نعمل مع دالة مركبة حيث تتألف الدالة الخارجية من $\tan(x)$ والدالة الداخلية من $\arccos(x^2)$.

2. قوانين الدوال المثلثية والدوال المعكوسة (Trigonometric and Inverse Trigonometric Functions):

   • $\arccos(x)$ هي دالة معكوسة للكوسين، وتأخذ القيم بين 0 و$\pi$.
   • $\tan(x)$ هي دالة تمام الجيبية وتأخذ قيمها بين $-\infty$ و$+\infty$ باستثناء النقاط حيث $\tan(x)$ غير معرفة مثل $\frac{\pi}{2}$ و $-\frac{\pi}{2}$.

3. المجال (Domain):
   يتعلق المجال بالقيم التي يمكن أن تتخذها المتغيرات في الدالة. في هذه الحالة، نحن نحدد المجال عن طريق التفكير في القيم التي يمكن أن تأخذها $x$ حتى يكون المدخل للدالة الداخلية معرفًا.

الآن، نأخذ في الاعتبار أن:

• $\arccos(x^2)$ معرفة فقط عندما يكون $x^2$ بين 0 و 1.
• $\tan(x)$ غير معرفة عند $\frac{\pi}{2}$ و $-\frac{\pi}{2}$ والمضاعفات المتكررة لها.

بالاعتماد على النقاط المذكورة أعلاه، نتوصل إلى أن مجال الدالة $f(x) = \tan(\arccos(x^2))$ هو $0 \leq x < 1$.

بهذا، نكون قد استخدمنا قوانين الدوال المثلثية والدوال المعكوسة وقوانين التركيب لحل المسألة وتحديد مجال الدالة.