تبسيط معادلات رياضية باستخدام القوانين الأساسية (مسألة رياضيات)

إذا كانت المعادلة $x \cdot y = xy – 2(x + y)$ صحيحة لجميع الأعداد الصحيحة $x$ و $y$، فلنقم بإعادة صياغة المعادلة وحلها بالتفصيل.

المعادلة المعطاة:
$x \cdot y = xy – 2(x + y)$

الحل:
لنقم بتبسيط المعادلة وحساب القيمة:

$x \cdot y = xy – 2x – 2y$

نقوم بجمع $2x$ و $2y$ من الجهتين:

$x \cdot y + 2x + 2y = xy$

نضيف $4$ من الطرفين لإكمال المربع الكامل:

$x \cdot y + 2x + 2y + 4 = xy + 4$

نقوم بطرح $xy$ من الطرفين:

$2x + 2y + 4 = 4$

نقوم بتقسيم كل جملة على $2$:

$x + y + 2 = 2$

نقوم بطرح $2$ من الطرفين:

$x + y = 0$

الآن، لنقم بتحقيق هذه المعادلة باستخدام القيم المعطاة $x = 3$ و $y = -3$:

$3 + (-3) = 0$

$0 = 0$

إذاً، القيم $x = 3$ و $y = -3$ تحقق المعادلة المعطاة، وبالتالي هي صحيحة لجميع الأعداد الصحيحة $x$ و $y$.

بالطبع، دعونا نقم بحل المسألة بتفصيل أكثر وذلك باستخدام القوانين الرياضية المناسبة.

المعادلة المعطاة:
$x \cdot y = xy – 2(x + y)$

لنقم بتبسيط المعادلة وحساب القيم:

1. قانون توسيع الضرب:
   $x \cdot y = xy – 2x – 2y$

2. جمع المصطلحات المشتركة:
   $x \cdot y + 2x + 2y = xy$

3. إكمال المربع الكامل:
   $x \cdot y + 2x + 2y + 4 = xy + 4$

4. طرح $xy$ من الطرفين:
   $2x + 2y + 4 = 4$

5. تقسيم كل جملة على $2$:
   $x + y + 2 = 2$

6. طرح $2$ من الطرفين:
   $x + y = 0$

الآن، دعونا نقم بتحليل القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون توسيع الضرب: استخدمناه لتوسيع الضرب $x \cdot y$ والحصول على $xy – 2x – 2y$.

2. جمع المصطلحات المشتركة: قمنا بجمع المصطلحات المشتركة من الجهتين لتبسيط المعادلة.

3. إكمال المربع الكامل: قمنا بإضافة $4$ من الطرفين لإكمال المربع الكامل وتسهيل العمليات.

4. طرح $xy$ من الطرفين: هذه الخطوة لديها الغرض من ترتيب المعادلة والتخلص من $xy$ من الطرفين.

5. تقسيم كل جملة على $2$: استخدمناها لتبسيط المعادلة والتخلص من الضرب في $2$.

6. طرح $2$ من الطرفين: لتحويل المعادلة إلى الشكل النهائي $x + y = 0$.

بهذه الطريقة، قد قمنا بحل المسألة باستخدام مجموعة من القوانين الرياضية الأساسية مثل قانون توسيع الضرب وجمع المصطلحات المشتركة.