تبسيط معادلات اللوغاريتم بالخطوات (مسألة رياضيات)

نأتي إلى حل المعادلة التي طُلبت:

إذا كانت المعادلة كالتالي:
$\log_5{5} \times \log_4{9} \times \log_3{2}$

نعلم أن $\log_a{a} = 1$، وهو قاعدة اللوغاريتم الأساسية. باستخدام هذه القاعدة، يمكننا تبسيط المعادلة. لنبدأ بحل المعادلة:

$\log_5{5} = 1$

الآن، نبقى مع:
$1 \times \log_4{9} \times \log_3{2}$

نركز على $\log_4{9}$، حيث يمكننا تحويل اللوغاريتم إلى صورة مؤرخية:
$\log_4{9} = \frac{\log_3{9}}{\log_3{4}}$

نعلم أن $\log_a{a^b} = b$، لذلك نستخدم هذه القاعدة لتبسيط المعادلة إلى:
$\frac{\log_3{9}}{\log_3{4}} \times \log_3{2}$

الآن، نستخدم حقيقة أن $\log_a{b} = \frac{1}{\log_b{a}}$ لتبسيط المعادلة أكثر:
$\frac{\log_3{9}}{\log_3{4}} \times \frac{1}{\log_2{3}}$

نعلم أن $3^2 = 9$ و $2^2 = 4$، لذلك يمكننا تبسيط المعادلة إلى:
$\frac{2}{\log_2{3}}$

هنا، يمكن أن نتوقف لأننا وصلنا إلى تبسيط نهائي للمعادلة. إذاً، المعادلة المعطاة:
$\log_5{5} \times \log_4{9} \times \log_3{2}$
تبسط إلى:
$\frac{2}{\log_2{3}}$

هذا هو الحل المطلوب للمعادلة المعطاة.

لنقم بحل تفصيلي للمعادلة $\log_5{5} \times \log_4{9} \times \log_3{2}$ باستخدام القوانين المناسبة:

1. القاعدة الأساسية للوغاريتم:
   $\log_a{a} = 1$

   بناءً على هذه القاعدة:
   $\log_5{5} = 1$

   الآن، نبقى مع:
   $1 \times \log_4{9} \times \log_3{2}$

2. تحويل لوغاريتم الى صورة مؤرخية:
   $\log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$

   لذلك:
   $\log_4{9} = \frac{\log_3{9}}{\log_3{4}}$

   الآن نحصل على:
   $1 \times \frac{\log_3{9}}{\log_3{4}} \times \log_3{2}$

3. استخدام قاعدة $\log_a{a^b} = b$:
   $\frac{\log_3{9}}{\log_3{4}} = 2$

   بعد هذه الخطوة، نحصل على:
   $1 \times 2 \times \log_3{2}$

4. استخدام قاعدة $\log_a{b} = \frac{1}{\log_b{a}}$:
   $\log_3{2} = \frac{1}{\log_2{3}}$

   الآن، نحن نملك:
   $1 \times 2 \times \frac{1}{\log_2{3}}$

5. التبسيط النهائي:
   نستخدم حقيقة أن $3^2 = 9$ و $2^2 = 4$ لتبسيط المعادلة إلى:
   $\frac{2}{\log_2{3}}$

   هذا هو الحل النهائي للمعادلة المعطاة.

في هذا الحل، استخدمنا القوانين الأساسية للوغاريتم مثل قاعدة أساس اللوغاريتم وقوانين التحويل بين اللوغاريتمات، بالإضافة إلى قواعد التبسيط العميقة مثل تبسيط اللوغاريتمات المكافئة. هذه الخطوات تساعد في تفكيك المعادلة والوصول إلى إجابة نهائية مبسطة.