تبسيط حاصل ضرب كسور (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
“ما هو الشكل المبسط لحاصل ضرب الكسور التالية: $\frac{8}{4}\cdot\frac{12}{8}\cdot\frac{16}{12} \dotsm \frac{4n+4}{4n} \dotsm \frac{2008}{2004}$؟”

الحل:
لنقم بتحليل الكسور المعطاة:

يمكننا ملاحظة أن جميع الكسور في النسبة المعطاة تتبع نمطاً مشتركاً. فمن الواضح أن العداد يزيد بمقدار 4 في كل مرة، بينما يبقى المقام ثابتاً، حيث يبدأ من 4 ويتزايد بنفس القيمة في كل جزء.

نقوم بتبسيط الكسور:

الآن، يمكننا ملاحظة أن كل كسر يمكن تبسيطه إلى شكل أبسط يحتوي على تسلسل الأعداد الطبيعية. يبدو أن الأجزاء الخاصة بالعداد والمقام ستلغى بعضها البعض.

لحساب الناتج النهائي، نقوم بإلغاء العداد والمقام المتكررين في الكسور. يُلاحظ أن كل مكون من المقام والعداد يلغي مكون مقابله في الكسر التالي.

بما أن كل كسر يُبسط إلى $\frac{n+1}{n}$، فإن جميع الأجزاء ما عدا الجزء الأول ستلغى. لذا، الناتج النهائي هو الجزء الأول من الكسر:

لذا، الشكل المبسط لحاصل الضرب هو 2.

لحل المسألة وتبسيط الشكل المعطى، نستخدم القواعد والخواص الأساسية للكسور. هذه القواعد تشمل:

1. ضرب الكسور: عند ضرب كسورين، نضرب العدادات مع بعضها والمقامات مع بعضها.
2. تبسيط الكسور: يتضمن إلغاء العوامل المشتركة بين العداد والمقام لتبسيط الكسر.
3. تطبيق النمط العام: لتحديد النمط المشترك في الكسور لتبسيطها.

الآن، دعونا نركز على الكسور المعطاة:

لنرى العلاقة بين الكسور. نلاحظ أن كل كسر في النسبة يمكن تبسيطه كالتالي:

يتضح أن النمط المشترك هو أن العداد يزيد بمقدار 4 في كل مرة، وبالتالي يمكن تبسيط الكسور لتصبح $\frac{n+1}{n}$.

عندما نقوم بضرب جميع هذه الكسور، نجد أن جميع المقامات والعدادات، ما عدا الأول، ستُلغى، وبالتالي الجواب هو العدد الأول الوحيد الباقي، والذي هو 2.

باختصار، باستخدام قواعد ضرب الكسور وتبسيطها، نستنتج أن الشكل المبسط لحاصل الضرب هو 2.