تبسيط الجذور والأسس: حلول وقوانين. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

نريد تبسيط التعبير التالي: $\sqrt{7\cdot 2}\cdot \sqrt{2^3\cdot 7^3}$.

الحل:

نبدأ بتبسيط كل من الجذور على حدة:

الجذر الأول: $\sqrt{7\cdot 2} = \sqrt{14}$.

الجذر الثاني: $\sqrt{2^3\cdot 7^3} = \sqrt{8\cdot 343}$.

الآن، يمكننا تبسيط الجذر الثاني عن طريق فك العبارة إلى عوامل أولية:

$\sqrt{8\cdot 343} = \sqrt{2^3 \cdot 7^3} = \sqrt{(2\cdot 2\cdot 2) \cdot (7\cdot 7\cdot 7)} = \sqrt{(2\cdot 7)^3}$.

باستخدام قاعدة الجذور التي تقول $\sqrt{a^3} = a\sqrt{a}$، حيث $a$ عدد حقيقي موجب، نحصل على:

$\sqrt{(2\cdot 7)^3} = (2\cdot 7)\sqrt{2\cdot 7} = 14\sqrt{14}$.

الآن، بعد تبسيط الجذرين، يصبح التعبير الكامل:

$\sqrt{14} \times 14\sqrt{14}$.

لحساب الناتج، يمكننا ضرب العددين والأعداد تحت الجذر معًا:

$14 \times 14 = 196$.

وتكون الجذر النهائي:

$196\sqrt{14}$.

وهذا هو التعبير المبسط للتعبير الأصلي: $\sqrt{7\cdot 2}\cdot \sqrt{2^3\cdot 7^3} = 196\sqrt{14}$.

لنحل المسألة بتفاصيل أكثر ونذكر القوانين المستخدمة:

المسألة تتضمن تبسيط التعبير التالي: $\sqrt{7\cdot 2}\cdot \sqrt{2^3\cdot 7^3}$.

قوانين الجذور والأسس المستخدمة:

1. قانون الجذر: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$.
2. قانون أس الأس: $(a^m)^n = a^{m \times n}$.
3. قانون الأس المشترك: $a^m \times a^n = a^{m+n}$.

الآن، سنقوم بحل المسألة:

1. نبدأ بتبسيط الجذور على حدة:

   • الجذر الأول: $\sqrt{7\cdot 2} = \sqrt{14}$.
   • الجذر الثاني: $\sqrt{2^3\cdot 7^3} = \sqrt{8\cdot 343}$.

2. نفك العبارة $\sqrt{8\cdot 343}$ إلى عواملها الأولية:

   • $8 = 2^3$.
   • $343 = 7^3$.

3. نجمع الأساس المشترك تحت الجذر لتحويل التعبير إلى صورة مبسطة:

   • $\sqrt{8\cdot 343} = \sqrt{(2^3) \cdot (7^3)} = \sqrt{(2\cdot 7)^3}$.

4. باستخدام قانون أس الأس ($(a^m)^n = a^{m \times n}$)، نقوم بتبسيط الجذر إلى: $(2\cdot 7)\sqrt{2\cdot 7}$.

5. نقوم بضرب العددين والأعداد تحت الجذر معًا:

   • $2\cdot 7 = 14$.
   • $\sqrt{2\cdot 7} = \sqrt{14}$.

6. الآن، نحصل على $\sqrt{(2\cdot 7)^3} = 14\sqrt{14}$.

7. بعد ذلك، نقوم بضرب العدد 14 في الجذر 14 للحصول على الناتج النهائي:

   • $14 \times 14 = 196$.
   • الناتج النهائي: $196\sqrt{14}$.

هذا هو الحل بتفاصيل أكثر واستخدام القوانين المناسبة لتبسيط التعبير المعطى.