تبسيط التعبير الجذري: الحل والتطبيقات (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة التعبير $\frac{2}{3\sqrt{5} + 2\sqrt{11}}$ بعد تركيز المقام. لنبدأ بتركيز المقام بالضرب في العد المُعادل للمقام، وهو $3\sqrt{5} – 2\sqrt{11}$.

باستخدام صيغة فارق مربعي مجمع:
$(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$
نجد:
$(3\sqrt{5} + 2\sqrt{11})(3\sqrt{5} – 2\sqrt{11}) = (3\sqrt{5})^2 – (2\sqrt{11})^2$
$= 9 \times 5 – 4 \times 11 = 45 – 44 = 1$

الآن، نقوم بتركيب المقام بالضرب في الجزء المُركب:
$\frac{2}{3\sqrt{5} + 2\sqrt{11}} \times \frac{3\sqrt{5} – 2\sqrt{11}}{3\sqrt{5} – 2\sqrt{11}}$
$= \frac{2(3\sqrt{5} – 2\sqrt{11})}{1}$
$= 2(3\sqrt{5} – 2\sqrt{11})$
$= 6\sqrt{5} – 4\sqrt{11}$

إذاً، قيمة التعبير المعطى هي $6\sqrt{5} – 4\sqrt{11}$.

الآن، من أجل تقديم القيمة بالشكل المطلوب $\frac{A\sqrt{B} + C\sqrt{D}}{E}$ حيث $B < D$، يجب مقارنة القيم. نلاحظ أن $B = 5$ و $D = 11$ و $A = 6$ و $C = -4$ و $E = 1$.

لذا، قيمة التعبير $\frac{2}{3\sqrt{5} + 2\sqrt{11}}$ بعد تركيز المقام هي $\frac{6\sqrt{5} – 4\sqrt{11}}{1}$، حيث $A = 6$، $B = 5$، $C = -4$، $D = 11$، و $E = 1$.

لحل المسألة المعطاة، نستخدم عدة خطوات رياضية وقوانين لتركيز المقام وتبسيط التعبير. هنا هي الخطوات الأساسية التي نقوم بها:

1. تركيز المقام: نقوم بضرب المقام والبسط في العد المُعادل للمقام للتخلص من الجذور في المقام.

2. استخدام صيغة الفارق المربعي المجمع: هذه الصيغة تساعدنا في تركيز المقام عندما يكون لدينا جذرين متعددين في المقام.

3. تبسيط التعبير الناتج: بعد تركيز المقام، نقوم بتبسيط التعبير الناتج للحصول على شكل نهائي.

الآن، سنقدم التفاصيل الكاملة لحل المسألة:

نعطي المعادلة:
$\frac{2}{3\sqrt{5} + 2\sqrt{11}}$

خطوات الحل:

1. تركيز المقام:

نقوم بضرب المقام والبسط في العد المُعادل للمقام للتخلص من الجذور في المقام. في هذه الحالة، العد المُعادل للمقام هو $3\sqrt{5} – 2\sqrt{11}$.

$\frac{2}{3\sqrt{5} + 2\sqrt{11}} \times \frac{3\sqrt{5} – 2\sqrt{11}}{3\sqrt{5} – 2\sqrt{11}}$

2. استخدام صيغة الفارق المربعي المجمع:

نستخدم صيغة الفارق المربعي المجمع لضرب $(3\sqrt{5} + 2\sqrt{11})$ في $(3\sqrt{5} – 2\sqrt{11})$.

$(3\sqrt{5} + 2\sqrt{11})(3\sqrt{5} – 2\sqrt{11}) = (3\sqrt{5})^2 – (2\sqrt{11})^2$
$= 9 \times 5 – 4 \times 11 = 45 – 44 = 1$

3. تبسيط التعبير الناتج:

باستخدام نتيجة الضرب السابقة، نحسب المقام:
$\frac{2(3\sqrt{5} – 2\sqrt{11})}{1} = 2(3\sqrt{5} – 2\sqrt{11}) = 6\sqrt{5} – 4\sqrt{11}$

إذاً، قيمة التعبير المعطى هي $6\sqrt{5} – 4\sqrt{11}$.

القيم:

• $A = 6$
• $B = 5$
• $C = -4$
• $D = 11$
• $E = 1$

وبالتالي، قيمة التعبير بالشكل المطلوب هي $\frac{6\sqrt{5} – 4\sqrt{11}}{1}$.