تبسيط التربيع للأعداد الخيالية (مسألة رياضيات)

$(3-2i)^2$ يمكن تبسيطها كما يلي:

\begin{align*}
(3-2i)^2 &= (3-2i)(3-2i)\
&= 3(3) + 3(-2i) – 2i(3) – 2i(-2i)\
&= 9 – 6i – 6i + 4i^2\
&= 9 – 12i – 4 \quad (\text{استخدام الحقيقة } i^2 = -1)\
&= 5 – 12i
\end{align*}

إذا كانت الإجابة على هذا السؤال هي $5 – 12i$.

بالطبع، دعونا نقوم بتفصيل حلا المسألة وذلك باستخدام القوانين الخاصة بضرب الأعداد الخيالية.

نعلم أن $(a+bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2$، ونستخدم هذه الصيغة لحساب التربيع. في هذه الحالة، لدينا $(3-2i)^2$، لذا سنقوم بتطبيق القاعدة على كل جزء من $(3-2i)$:

\begin{align*}
(3-2i)^2 &= (3-2i)(3-2i)\
&= 3(3) + 3(-2i) – 2i(3) – 2i(-2i)\
&= 9 – 6i – 6i + 4i^2
\end{align*}

نستخدم الحقيقة التي تقول أن $i^2 = -1$، لذلك يمكننا استبدال $i^2$ بـ$-1$:

\begin{align*}
&= 9 – 6i – 6i – 4\
&= 9 – 12i – 4
\end{align*}

وأخيرًا، نقوم بجمع الأجزاء الحقيقية والخيالية للحصول على الجواب النهائي:

\begin{align*}
&= 5 – 12i
\end{align*}

القوانين التي تم استخدامها هي:

1. قاعدة تربيع العدد الخيالي: $(a+bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2$
2. قاعدة الضرب: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

وتم أيضًا استخدام الحقيقة $i^2 = -1$ في الحسابات.