تبسيط التربيع: حلاً للتعبير الرياضي (مسألة رياضيات)

التعبير المُطلوب تبسيطه هو: $\sqrt{37-20\sqrt{3}}.$

للبداية، دعونا نفكك هذا التعبير. يمكننا كتابة $37 – 20\sqrt{3}$ على شكل $(a – b\sqrt{3})^2$ حيث $a$ و $b$ هما أعداد حقيقية.

لنقم بالتوسيع:
$(a – b\sqrt{3})^2 = a^2 – 2ab\sqrt{3} + 3b^2.$

نقارنها مع $37 – 20\sqrt{3}$ للوصول إلى نظام من المعادلات:
$a^2 + 3b^2 = 37$
$2ab = 20$

من المعادلة الثانية، نجد أن $ab = 10$. الأعداد $a$ و $b$ التي تحقق هذا الضرب يمكن أن تكون مثلاً $a = 2$ و $b = 5$.

الآن، نستخدم هذه القيم في المعادلة الأولى:
$a^2 + 3b^2 = 2^2 + 3 \times 5^2 = 4 + 75 = 79.$

إذاً، نعود إلى التعبير الأصلي:
$\sqrt{37-20\sqrt3} = \sqrt{(2 – 5\sqrt{3})^2} = |2 – 5\sqrt{3}|.$

وبما أننا نريد جوابًا إيجابيًا، فإن الجواب النهائي هو:
$2 – 5\sqrt{3}.$

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ تفكيك التربيع (التعرف على عاملين يربعان للوصول إلى التعبير الأصلي). لنبدأ بفك الجذر التربيعي:

التعبير المطلوب تبسيطه هو: $\sqrt{37-20\sqrt3}.$

لنفترض أن $\sqrt{37-20\sqrt3} = a – b\sqrt{3}$ حيث $a$ و $b$ هما أعداد حقيقية. الآن، سنقوم بتربيع الطرفين للوصول إلى التعبير الأصلي:

$(\sqrt{37-20\sqrt3})^2 = (a – b\sqrt{3})^2.$

نوسع الجهة اليمنى:
$37 – 20\sqrt3 = a^2 – 2ab\sqrt{3} + 3b^2.$

الآن، نقارن معاملات التعبيرين للوصول إلى نظام من المعادلات:
$a^2 + 3b^2 = 37$
$2ab = 20$

من المعادلة الثانية، نجد أن $ab = 10$. لنجد قيم مناسبة لـ $a$ و $b$، لنفترض مثلاً $a = 2$ و $b = 5$، حيث أن $2 \times 5 = 10$.

الآن نستخدم هذه القيم في المعادلة الأولى:
$a^2 + 3b^2 = 2^2 + 3 \times 5^2 = 4 + 75 = 79.$

إذاً، نعود إلى التعبير الأصلي:
$\sqrt{37-20\sqrt3} = \sqrt{(2 – 5\sqrt{3})^2}.$

ونظرًا لأننا نريد قيمة إيجابية، فإن الجواب النهائي هو:
$2 – 5\sqrt{3}.$

القوانين المستخدمة في هذا الحل:

1. مبدأ تفكيك التربيع: لاستخدامه في تحويل جذور التربيع إلى تعبيرات بشكل أبسط.
2. مقارنة المعاملات: لتحديد العلاقة بين معاملات التعبيرين المتساويين والوصول إلى نظام من المعادلات.
3. الجمع والضرب في المعادلات: لحل نظام المعادلات الحاصل للوصول إلى القيم المناسبة لـ $a$ و $b$.
4. استخدام القيم المناسبة في التعبير الأصلي: للوصول إلى الإجابة النهائية.