تأثير ضرب الأعداد في انحراف المعيار (مسألة رياضيات)

المجموعة “أ” المكونة من الأعداد {3، 3، 3، 4، 5، 5، 5} لديها انحراف معياري يبلغ 1. إذا قمنا بضرب كل عنصر في هذه المجموعة في 5، ماذا سيكون انحراف المعيار بعد هذه العملية؟

للبداية، يمكننا حساب المتوسط الحسابي للمجموعة الأصلية “أ”، وهو مجرد جمع جميع الأعداد وقسمتها على عددها، وذلك للحصول على القيمة المتوسطة:

$\text{المتوسط الحسابي} = \frac{3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5}{7} = \frac{28}{7} = 4$

ثم يمكننا حساب اختلاف كل عنصر عن المتوسط ورفعه إلى القوة الثانية، ثم جمع هذه القيم وقسمها على عدد العناصر للحصول على انحراف المعيار:

$\text{انحراف المعيار} = \sqrt{\frac{(3-4)^2 + (3-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 + (5-4)^2 + (5-4)^2 + (5-4)^2}{7}}$

$\text{انحراف المعيار} = \sqrt{\frac{3 + 3 + 3 + 0 + 1 + 1 + 1}{7}} = \sqrt{\frac{12}{7}}$

الآن بعد أن قمنا بحساب انحراف المعيار للمجموعة الأصلية، سنقوم بضرب كل عنصر في المجموعة في 5 ومن ثم حساب المتوسط الجديد وانحراف المعيار الجديد بناءً على العملية:

$\text{المجموعة الجديدة} = \{3 \times 5, 3 \times 5, 3 \times 5, 4 \times 5, 5 \times 5, 5 \times 5, 5 \times 5\}$

$\text{المتوسط الجديد} = \frac{15 + 15 + 15 + 20 + 25 + 25 + 25}{7} = \frac{145}{7}$

$\text{انحراف المعيار الجديد} = \sqrt{\frac{(15-20)^2 + (15-20)^2 + (15-20)^2 + (20-20)^2 + (25-20)^2 + (25-20)^2 + (25-20)^2}{7}}$

$\text{انحراف المعيار الجديد} = \sqrt{\frac{25 + 25 + 25 + 0 + 25 + 25 + 25}{7}} = \sqrt{\frac{150}{7}}$

لذا، بعد ضرب كل عنصر في المجموعة الأصلية في 5، يكون انحراف المعيار الجديد هو $\sqrt{\frac{150}{7}}$.

لحل هذه المسألة، سنقوم باتباع الخطوات التالية:

1. حساب المتوسط الحسابي للمجموعة الأصلية “أ”.
2. حساب اختلاف كل عنصر عن المتوسط ورفعه إلى القوة الثانية.
3. جمع هذه القيم الجديدة وقسمها على عدد العناصر للحصول على انحراف المعيار للمجموعة الأصلية.
4. ضرب كل عنصر في المجموعة الأصلية في 5 للحصول على المجموعة الجديدة.
5. حساب المتوسط الحسابي للمجموعة الجديدة.
6. حساب اختلاف كل عنصر في المجموعة الجديدة عن المتوسط ورفعه إلى القوة الثانية.
7. جمع هذه القيم الجديدة وقسمها على عدد العناصر للحصول على انحراف المعيار للمجموعة الجديدة.

القوانين المستخدمة:

1. المتوسط الحسابي:
   $\text{المتوسط الحسابي} = \frac{\text{جمع الأعداد}}{\text{عددها}}$

2. انحراف المعيار:
   $\text{انحراف المعيار} = \sqrt{\frac{\sum (\text{القيم} – \text{المتوسط})^2}{\text{عدد العناصر}}}$

3. ضرب كل عنصر في المجموعة في عدد صحيح:
   $\text{المجموعة الجديدة} = \{\text{العنصر} \times \text{العدد}\}$

الآن سنقوم بحساب القيم:

للمجموعة الأصلية “أ”:

• المتوسط الحسابي: $4$
• انحراف المعيار: $\sqrt{\frac{12}{7}}$

للمجموعة الجديدة:

• المتوسط الحسابي: $\frac{145}{7}$
• انحراف المعيار: $\sqrt{\frac{150}{7}}$

باختصار، بعد ضرب كل عنصر في المجموعة الأصلية في 5، يكون انحراف المعيار للمجموعة الجديدة هو $\sqrt{\frac{150}{7}}$.