تأثير زيادة على متوسط مجموعة الأرقام

في مجموعة $S$ التي تحتوي على 10 أرقام بالضبط، والتي يكون متوسطها الحسابي (المتوسط الحسابي) يساوي 6.2، إذا قمنا بزيادة أحد الأرقام في هذه المجموعة بمقدار 7، في حين يظل باقي الأرقام كما هي، ما هو المتوسط الجديد لمجموعة $S$؟

لنعيد صياغة المسألة بشكل مفصل:

فرضاً أن لدينا مجموعة $S$ تحتوي على 10 أرقام، ومتوسطها الحسابي يساوي 6.2. يمكننا تمثيل مجموعة $S$ كمجموعة من الأعداد: $S = \{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{10}\}$، حيث $a_i$ هو العدد في الموقع $i$ في المجموعة.

المتوسط الحسابي للمجموعة يحسب على النحو التالي:

نعلم أن المتوسط يعبر عن المجموع مقسوماً على عدد العناصر. الآن، إذا قمنا بزيادة أحد الأعداد، فلنقل أننا زدنا $a_k$ بمقدار 7، حيث $k$ هو أحد الفهارس في المجموعة. الآن، المجموع الجديد للمجموعة سيكون:

المتوسط الجديد يمكن حسابه على النحو التالي:

لكننا نعلم أن:

إذاً يمكننا استخدام هذه المعلومة للتعبير عن المتوسط الجديد بشكل أفضل:

والآن يمكننا حساب القيمة الجديدة للمتوسط. أضف المعلومات المعطاة:

حل هذه الصيغة سيعطينا المتوسط الجديد للمجموعة $S$.

بالطبع، دعونا نستكمل حلا للمسألة بتوضيح الخطوات بشكل أفضل وذلك باستخدام القوانين الرياضية والحسابية المعتادة.

لنبدأ باستخدام القانون الأساسي لحساب المتوسط الحسابي:

$\text{المتوسط} = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{10}}{10}$

حيث $S = \{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{10}\}$ هي المجموعة. الآن، يمكننا كتابة هذا بشكل أفضل:

$a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{10} = \text{المتوسط} \times 10$

القانون الأساسي الثاني الذي سنستخدمه هو كيفية حساب المتوسط بعد زيادة عدد معين. إذا قمنا بزيادة $a_k$ بمقدار 7، يمكن كتابة المجموع الجديد بالشكل التالي:

$a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + (a_k + 7) + \ldots + a_{10}$

الآن، بناءً على السياق والسؤال، نحن نعلم أن العدد الجديد هو $a_k + 7$، وهو ما يؤثر على المجموع الكلي. لنكتب المجموع الجديد باستخدام القانون الثاني:

$\text{المجموع الجديد} = \text{المتوسط} \times 10 + 7$

والآن، لحساب المتوسط الجديد، نستخدم القانون الأساسي الأول مع القانون الثاني:

$\text{المتوسط الجديد} = \frac{\text{المجموع الجديد}}{10}$

وهنا يكون الحل قد تم توضيحه بوضوح. لحساب القيمة النهائية للمتوسط الجديد، نستخدم الصيغة:

$\text{المتوسط الجديد} = \frac{\text{المتوسط} \times 10 + 7}{10}$

القوانين المستخدمة في هذا الحل هي:

1. قانون المتوسط الحسابي: المتوسط يُحسب بجمع القيم وتقسيم الناتج على عددها.
2. تأثير زيادة على المتوسط: زيادة عدد في المجموعة تؤثر على المجموع بكامله بناءً على عدد العناصر.
3. حساب المتوسط بعد الزيادة: كيفية حساب المتوسط الجديد بعد زيادة في أحد الأعداد.