تأثير خفض التكلفة على الأرباح: حلقة المفاتيح (مسألة رياضيات)

تمكن إدي الجنوني من خفض تكلفة تصنيع سلاسل المفاتيح في مصنعه، وذلك دون أن يطرأ أي تغيير على سعر بيعها، مما أدى إلى زيادة الربح من بيع كل سلسلة مفاتيح من 50% إلى 50%. إذا كانت تكلفة التصنيع الحالية هي 50 دولارًا، فما كانت قبل الخفض؟

الحل:
لنمثل تكلفة التصنيع الأصلية بـ $x$ دولارًا. وبموجب البيانات المقدمة، نعلم أن الربح الحالي يمثل 50% من سعر البيع، وهو نفسه الربح السابق. إذا كانت التكلفة الحالية 50 دولارًا، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$\text{الربح الحالي} = \text{سعر البيع} – \text{تكلفة التصنيع الحالية}$
$50\% = 100\% – 50\%$
$\frac{50}{100} = \frac{50}{100}$

الآن، نستخدم هذا المعادلة لحساب سعر البيع:
$\text{سعر البيع} = \text{الربح الحالي} + \text{تكلفة التصنيع الحالية}$
$\text{سعر البيع} = 50\% + 50\% = 100\%$

الآن، نستخدم نسبة الربح الأصلية لحساب تكلفة التصنيع الأصلية:
$\text{تكلفة التصنيع الأصلية} = \frac{\text{الربح الأصلي}}{\text{نسبة الربح الأصلية}} \times 100\%$
$\text{تكلفة التصنيع الأصلية} = \frac{50}{50} \times 100\% = 100\%$

لذا، تكلفة التصنيع الأصلية كانت 100 دولارًا.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكبر، حيث سنستخدم القوانين الرياضية المتعلقة بنسب الأرباح والتكاليف. لنمثل التكلفة الأصلية لتصنيع السلاسل بـ $x$ دولارًا.

1. قانون النسب:
   يُعبر عن العلاقة بين الربح والتكلفة مقارنة بسعر البيع. في هذه المشكلة، يقول السؤال أن الربح الحالي هو 50% من سعر البيع، وهذا يعني أن نسبة الربح إلى السعر الكلي هي 50%.

   $\text{نسبة الربح} = \frac{\text{الربح الحالي}}{\text{السعر الكلي}} = 50\%$

2. تحديد السعر الكلي:
   يمثل السعر الكلي مجموع التكلفة والربح. في هذه الحالة، نعرف أن الربح الحالي يُمثل 50% من السعر الكلي.

   $\text{الربح الحالي} = 50\% \times \text{السعر الكلي}$

3. تحديد التكلفة الحالية:
   نُعطى في السؤال أن التكلفة الحالية هي 50 دولارًا. نستخدم هذه المعلومة لحساب السعر الكلي.

   $\text{التكلفة الحالية} = \text{تكلفة التصنيع الأصلية} – \text{الربح الحالي}$
   $50 = x – 50\% \times \text{السعر الكلي}$

4. تحديد السعر الكلي بالنسبة للسعر الأصلي:
   نستخدم النسبة المُعطاة في السؤال (50%) لحساب السعر الكلي بالنسبة للسعر الأصلي.

   $\text{السعر الكلي} = \frac{\text{السعر الأصلي}}{100\%} \times 50\%$

5. حساب السعر الأصلي:
   نستخدم المعادلة السابقة لحساب السعر الأصلي.

   $\text{السعر الأصلي} = \frac{100\%}{50\%} \times \text{السعر الكلي}$

   الآن، بعد حساب السعر الأصلي، يمكننا استخدامه لحساب التكلفة الأصلية.

6. حساب التكلفة الأصلية:
   نستخدم السعر الأصلي لحساب التكلفة الأصلية.

   $\text{تكلفة التصنيع الأصلية} = \text{السعر الأصلي} – \text{الربح الأصلي}$
   $\text{تكلفة التصنيع الأصلية} = \text{السعر الأصلي} – 50\% \times \text{السعر الأصلي}$

   وباستخدام هذه الخطوات، يمكننا حل المسألة بالتفصيل واستخدام القوانين الرياضية المذكورة.