تأثير تغيير الأبعاد على حجم الأسطوانة (مسألة رياضيات)

عندما يتم مضاعفة ارتفاع اسطوانة وزيادة نصف قطرها بنسبة $200%$، يتم ضرب حجم الاسطوانة بعامل $X$. ما قيمة $X$؟

الحل:
لحساب حجم الأسطوانة، نستخدم الصيغة التالية:
$V = \pi r^2 h$
حيث أن:
$V$ هو حجم الأسطوانة.
$r$ هو نصف قطر الأسطوانة.
$h$ هو ارتفاع الأسطوانة.

إذاً، بعد تغيير الأبعاد، يصبح لدينا:
النصف الجديد: $r_{\text{جديد}} = 2r$
الارتفاع الجديد: $h_{\text{جديد}} = 2h$

الآن، نستخدم هذه القيم في الصيغة لحساب الحجم الجديد:
$V_{\text{جديد}} = \pi (2r)^2 (2h)$
$V_{\text{جديد}} = 4\pi r^2 \cdot 2h$
$V_{\text{جديد}} = 8\pi r^2 h$

الآن، لنقارن بين الحجم الجديد والحجم الأصلي:
$X = \frac{V_{\text{جديد}}}{V} = \frac{8\pi r^2 h}{\pi r^2 h} = 8$

إذاً، قيمة $X$ هي 8.

بالطبع، سأوفر تفاصيل أكثر وأشمل لحل المسألة بالإضافة إلى ذكر القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل.

أولاً، دعنا نستعرض القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. صيغة حجم الأسطوانة: يتم حساب حجم الأسطوانة باستخدام الصيغة $V = \pi r^2 h$، حيث $V$ هو حجم الأسطوانة، $r$ هو نصف قطر الأسطوانة، و $h$ هو ارتفاع الأسطوانة.

2. تأثير تغييرات الأبعاد: عند تغيير أبعاد الأسطوانة، سيؤثر ذلك مباشرة على حجمها، حيث يرتبط حجم الأسطوانة بطولها وقطرها.

الآن، دعونا نقوم بحل المسألة بالتفصيل:

1. نبدأ بتعريف الأبعاد الجديدة للأسطوانة بعد التغيير:

   • النصف الجديد $r_{\text{جديد}} = 2r$، حيث يتم زيادة نصف قطر الأسطوانة بنسبة $200\%$، وبما أن النسبة المئوية تعادل $2 \times 100\% = 200\%$، فإن النصف الجديد سيكون ضعف النصف الأصلي.
   • الارتفاع الجديد $h_{\text{جديد}} = 2h$، حيث يتم مضاعفة ارتفاع الأسطوانة.

2. ثم، نستخدم الصيغة لحساب حجم الأسطوانة بعد التغيير:
   $V_{\text{جديد}} = \pi (2r)^2 (2h) = 8\pi r^2 h$

3. بما أن السؤال يطلب حساب العامل $X$ الذي يمثل كم مرة يتغير حجم الأسطوانة بعد التغييرات، فإننا نقارن بين الحجم الجديد والحجم الأصلي:
   $X = \frac{V_{\text{جديد}}}{V} = \frac{8\pi r^2 h}{\pi r^2 h} = 8$

4. وبالتالي، قيمة $X$ هي 8، مما يعني أن حجم الأسطوانة تضاعف ثمانية مرات بعد تغيير الأبعاد.

باختصار، الحل يستند إلى استخدام صيغة حجم الأسطوانة مع مراعاة تأثير التغييرات في الأبعاد، ومن ثم مقارنة الحجم الجديد بالحجم الأصلي للوصول إلى العامل $X$ الذي يمثل تغيير الحجم.