تأثير تراكم الفائدة النصف سنويًا vs. سنويًا (مسألة رياضيات)

المسألة:

ما هو الزيادة المتوقعة في المبلغ بعد مرور سنتين إذا تم وضع مبلغ 10000 روبية بنسبة فائدة تراكمية قدرها 20٪ سنويًا، حيث يتم دفع الفائدة نصف سنويًا، بالمقارنة مع وضع نفس المبلغ بنفس النسبة ولكن مع دفع الفائدة مرة واحدة في السنة؟

الحل:

لحساب الفائدة في حالة دفع الفائدة نصف سنويًا، نستخدم الصيغة للفائدة المركبة:

$A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

حيث:

• $A$ هو المبلغ النهائي بعد مرور الوقت.
• $P$ هو المبلغ الرئيسي (المبلغ الأصلي).
• $r$ هو سعر الفائدة السنوي ككسر عشري (20٪ تصبح 0.2).
• $n$ هو عدد المرات التي يتم فيها دفع الفائدة في السنة (نصف سنويًا يعني $n = 2$).
• $t$ هو عدد السنوات.

لحساب الفائدة في حالة دفع الفائدة سنويًا، نستخدم نفس الصيغة ولكن مع $n = 1$.

الفارق في المبلغ بعد مرور سنتين يكون:

$الفارق = A_{\text{نصف سنوي}} – A_{\text{سنوي}}$

وبعد حساب القيم، يمكننا الوصول إلى الإجابة.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق الصيغة للفائدة المركبة في حالتين: الأولى حينما يتم دفع الفائدة نصف سنويًا والثانية حينما يتم دفع الفائدة سنويًا. سنقوم بحساب المبلغ النهائي (المبلغ بعد مرور سنتين) في كل حالة باستخدام الصيغة:

$A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

حيث:

• $A$ هو المبلغ النهائي بعد مرور الوقت.
• $P$ هو المبلغ الرئيسي (المبلغ الأصلي).
• $r$ هو سعر الفائدة السنوي ككسر عشري (20٪ تصبح 0.2).
• $n$ هو عدد المرات التي يتم فيها دفع الفائدة في السنة.
• $t$ هو عدد السنوات.

في هذه المسألة، نعلم أن $n$ يكون 2 عندما يتم دفع الفائدة نصف سنويًا ويكون 1 عندما يتم دفع الفائدة سنويًا، و$t$ هو 2 لأننا نريد حساب المبلغ بعد مرور سنتين.

الآن سنحسب قيمة المبلغ النهائي في الحالتين:

$A_{\text{نصف سنوي}} = 10000 \left(1 + \frac{0.2}{2}\right)^{2 \times 2}$

$A_{\text{سنوي}} = 10000 \left(1 + \frac{0.2}{1}\right)^{1 \times 2}$

ثم نحسب الفارق بين المبالغ النهائية في الحالتين:

$الفارق = A_{\text{نصف سنوي}} – A_{\text{سنوي}}$

القوانين المستخدمة في الحل:

1. صيغة الفائدة المركبة: يتم استخدام هذه الصيغة لحساب المبلغ النهائي بناءً على معدل الفائدة وعدد المرات التي يتم فيها دفع الفائدة في السنة.

2. قانون الأرقام العشرية: في حساباتنا، نقوم بتحويل النسبة إلى كسر عشري (20٪ تصبح 0.2) لاستخدامها في الصيغ.

3. قانون الفروق السنوية: يتم استخدام هذا القانون لحساب الفارق بين المبالغ النهائية في الحالتين.