تأثير تحول الدوال: دراسة حالة (مسألة رياضيات)

إذا تم نقل الرسم البياني للدالة $y = 2x^2 – x + 7$ أربع وحدات إلى اليمين، مما أدى إلى الرسم البياني للدالة $y = ax^2 + bx + c$، فما هي قيمة التعبير $a + b + c$؟

الدالة الأصلية: $y = 2x^2 – x + 7$

الدالة بعد التحول: $y = ax^2 + bx + c$

لنقم بتحديد قيم المعاملات $a$، $b$، و $c$ بناءً على التحول الذي طرأ على الدالة الأصلية.

لنقم أولاً بتحديد كيف يؤثر نقل الرسم البياني إلى اليمين على معادلة الدالة. عند تحريك الرسم البياني إلى اليمين بمقدار $k$، يكون التأثير كالتالي:

1. تأخير $x$ بمقدار $k$ يتم عبر تغيير $x$ إلى $x – k$.
2. تقدم $x^2$ بمقدار $k$ يتم عبر تغيير $x^2$ إلى $(x – k)^2$.

بناءً على ذلك، يصبح التحول في المعادلة كالتالي:
$y = 2(x – 4)^2 – (x – 4) + 7$

لتحديد المعاملات $a$، $b$، و $c$، قارن بين المعادلتين:
$2x^2 – x + 7$
$2(x – 4)^2 – (x – 4) + 7$

من خلال المقارنة، يتضح أن $a = 2$، $b = -1$، و $c = 7$.

الآن، يمكننا حساب قيمة $a + b + c$:
$a + b + c = 2 – 1 + 7 = 8$

إذاً، قيمة التعبير $a + b + c$ تكون 8.

لنقم بحل المسألة بمزيد من التفاصيل وذلك باستخدام القوانين الرياضية المتعلقة بتأثير التحولات على معادلات الدوال الرياضية.

المعادلة الأصلية هي:
$y = 2x^2 – x + 7$

ونريد معرفة كيف يؤثر نقل الرسم البياني إلى اليمين بمقدار 4 وحدات على هذه المعادلة. لفعل ذلك، نستخدم القاعدة التالية:

1. تأثير نقل الرسم البياني إلى اليمين:
   عند تحريك الرسم البياني إلى اليمين بمقدار $k$، يتم تغيير $x$ إلى $x – k$ في المعادلة الأصلية. وبما أننا نريد نقلها إلى اليمين بـ 4 وحدات، فإننا سنستخدم $x – 4$ بدلاً من $x$.

لذا، نكتب المعادلة بعد التأثير:
$y = 2(x – 4)^2 – (x – 4) + 7$

الآن، لنقارن بين هذه المعادلة والمعادلة الأصلية ونحدد قيم المعاملات $a$، $b$، و $c$.

2. قيم المعاملات بعد التأثير:
   قارن المعادلتين وحدد قيم $a$، $b$، و $c$.

   المعادلة الأصلية: $y = 2x^2 – x + 7$

   المعادلة بعد التأثير: $y = 2(x – 4)^2 – (x – 4) + 7$

   من المقارنة، نجد أن $a = 2$، $b = -1$، و $c = 7$.

الآن، لنقم بحساب قيمة $a + b + c$:
$a + b + c = 2 – 1 + 7 = 8$

3. القوانين المستخدمة:

   • تأثير نقل الرسم البياني إلى اليمين:
     $y = f(x – k)$
     حيث $k$ هو المقدار الذي يتم نقله إلى اليمين.

   • تأثير تأخير $x$ وتقدم $x^2$:
     عند تأخير $x$ بمقدار $k$، يتم تغيير $x$ إلى $x – k$، وعند تقدم $x^2$ بمقدار $k$، يتم تغيير $x^2$ إلى $(x – k)^2$.

   • المقارنة بين المعادلات لحساب المعاملات:
     عند مقارنة المعادلتين لتحديد قيم المعاملات بعد التأثير.