تأثير القيم المطلقة على الرسم البياني (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية التي نحتاج إلى حلها هي: “ما هو الحرف الذي يتوافق مع الرسم البياني للدالة $y = |f(x)|$؟”

الحل:
لفهم الإجابة على هذا السؤال، يجب أن نتذكر مفهوم القيمة المطلقة. إذا كانت $f(x)$ هي دالة أي عبارة عن تعبير رياضي للعلاقة بين $x$ و$f(x)$، فإن $|f(x)|$ هو القيمة المطلقة لـ $f(x)$ وتُعرَف على النحو التالي:

$|f(x)| = \begin{cases} f(x) & \text{إذا كانت } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & \text{إذا كانت } f(x) < 0 \end{cases}$

ببساطة، عندما تكون القيمة الداخلية $f(x)$ إيجابية أو تساوي الصفر، تكون $|f(x)|$ هي نفس القيمة $f(x)$، وعندما تكون القيمة الداخلية $f(x)$ سالبة، يتم تغيير علامة القيمة لتصبح إيجابية، أي $|f(x)| = -f(x)$.

الآن، نعود إلى السؤال: “أي حرف يتوافق مع الرسم البياني للدالة $y = |f(x)|$؟”

عندما نقوم برسم الدالة $y = |f(x)|$، نجد أنها تأخذ قيم الدالة $f(x)$ عندما تكون إيجابية، وتأخذ نفس القيم ولكن بعكس العلامة عندما تكون سالبة. إذاً، الرسم البياني لـ $y = |f(x)|$ هو مرآة للرسم البياني للدالة $y = f(x)$ بالنسبة للأجزاء التي تكون فيها $f(x)$ سالبة.

إذا كان الحرف الذي يتوافق مع الرسم البياني للدالة $y = f(x)$ هو “A”، على سبيل المثال، فإن الحرف الذي يتوافق مع الرسم البياني للدالة $y = |f(x)|$ سيكون مشابهًا لـ “A”، ولكن يتم عكس الأجزاء التي تكون فيها $f(x)$ سالبة.

لنقم بفهم المسألة وحلها بتفصيل أكبر، نتناول القوانين المستخدمة وكيف تؤثر على الرسم البياني للدالة $y = |f(x)|$.

الدالة المطلوبة هي $y = |f(x)|$. لفهم كيفية تأثير القيم الإيجابية والسالبة على هذه الدالة، نستخدم قوانين القيم المطلقة:

1. قاعدة القيمة المطلقة للأعداد الحقيقية:
   $|a| = \begin{cases} a & \text{إذا كانت } a \geq 0 \\ -a & \text{إذا كانت } a < 0 \end{cases}$

   هذه القاعدة تعبر عن الطريقة التي تتغير بها القيمة المطلقة حسب العلامة (+ أو -) للعدد الداخلي.

2. تأثير القيم السالبة على الدالة:
   عندما يكون $f(x)$ سالبًا، نقوم بضرب القيمة في -1 لتصبح إيجابية:
   $|f(x)| = -f(x)$

   هذه الخطوة تعكس القيمة وتجعلها إيجابية.

3. تأثير القيم الإيجابية على الدالة:
   عندما يكون $f(x)$ إيجابيًا أو يساوي الصفر، فإن $|f(x)|$ تأخذ نفس القيمة:
   $|f(x)| = f(x)$

   هذه الحالة لا تغير قيمة الدالة.

الآن، لنقم بتحليل كيف يؤثر ذلك على الرسم البياني:

إذا كان لدينا رسم بياني لدالة $y = f(x)$، فإن الرسم البياني للدالة $y = |f(x)|$ يحدث عندما نعكس الأجزاء التي تكون فيها $f(x)$ سالبة عبر محور x ليصبحوا إيجابيين.

لنفترض أن الحرف “A” يمثل رسم الدالة $y = f(x)$ على المحور. إذاً، الحرف الذي يمثل رسم الدالة $y = |f(x)|$ سيكون مشابهًا لـ “A”، ولكن نقوم بعكس الجزء السالب للدالة. يمكن أن يكون هذا مثالًا على كيفية تطبيق القوانين المطلوبة لحساب القيم المطلقة.

تجنبًا للتكرار، يُفضل دائمًا استخدام رسم بياني لتوضيح هذه الأفكار، حيث يمكن أن يساعد الرسم في تجسيد العمليات الرياضية بشكل أكبر وأفضل.