مسائل رياضيات

تأثير أنابيب الصرف على التركيب الكيميائي بعد 3 دقائق (مسألة رياضيات)

بعد 3 دقائق من فتح الأنابيب الثلاثة (أ، ب، ج)، كم يكون النسبة المئوية للمحلول P في الخزان؟

نفترض أن الحجم الإجمالي للخزان يعتبر وحدة واحدة (1)، وذلك لتبسيط الحسابات. يمكننا حساب معدل العمل لكل أنبوب عندما يكون الخزان فارغًا.

للأنبوب (أ): يملأ الخزان في 30 دقيقة، لذا معدل العمل هو 1/30 من الخزان في الدقيقة.

للأنبوب (ب): يملأ الخزان في 20 دقيقة، لذا معدل العمل هو 1/20 من الخزان في الدقيقة.

للأنبوب (ج): يملأ الخزان في 10 دقائق، لذا معدل العمل هو 1/10 من الخزان في الدقيقة.

عند فتح الأنابيب الثلاثة، يتم جمع معدلات العمل الفردية للحصول على معدل العمل الإجمالي:
معدل العمل الإجمالي=130+120+110\text{معدل العمل الإجمالي} = \frac{1}{30} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10}

حاسب المعدل الإجمالي:
معدل العمل الإجمالي=130+120+110=160\text{معدل العمل الإجمالي} = \frac{1}{30} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{1}{60}

الآن، لنحسب الحجم الكلي الذي يملأه الأنابيب الثلاثة خلال الدقيقة الواحدة:
الحجم المملوء في الدقيقة الواحدة=معدل العمل الإجمالي×الحجم الإجمالي=160\text{الحجم المملوء في الدقيقة الواحدة} = \text{معدل العمل الإجمالي} \times \text{الحجم الإجمالي} = \frac{1}{60}

بعد 3 دقائق، سيكون الحجم المملوء هو:
الحجم المملوء بعد 3 دقائق=3×(160)=120\text{الحجم المملوء بعد 3 دقائق} = 3 \times \left( \frac{1}{60} \right) = \frac{1}{20}

الآن، نحسب النسبة المئوية للمحلول P في الحجم المملوء:
النسبة المئوية لـ P=حجم المحلول Pالحجم المملوء بعد 3 دقائق\text{النسبة المئوية لـ P} = \frac{\text{حجم المحلول P}}{\text{الحجم المملوء بعد 3 دقائق}}

حيث أن معدل الأنبوب (أ) هو 1/30 من الخزان في الدقيقة، إذا كان العدد الكلي للدقائق هو 3×130=1103 \times \frac{1}{30} = \frac{1}{10} من الخزان، وبالتالي:
حجم المحلول P=110\text{حجم المحلول P} = \frac{1}{10}

الآن، نستخدم هذه المعلومات لحساب النسبة المئوية:
النسبة المئوية لـ P=110120=21\text{النسبة المئوية لـ P} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{20}} = \frac{2}{1}

لذا، بعد 3 دقائق، النسبة المئوية للمحلول P في الخزان هي 2:1.

المزيد من المعلومات

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم معدل العمل ونطبق قوانين الرياضيات للتعبير عن الكميات المعنية. لنلخص الحل:

  1. معدل العمل:

    • نفترض أن حجم الخزان هو وحدة واحدة (1) لتبسيط الحسابات.
    • نحسب معدل العمل لكل أنبوب باستخدام القاعدة: معدل العمل = الحجم / الزمن.
  2. معدل العمل الإجمالي:

    • نجمع معدلات العمل للأنابيب الثلاثة المفتوحة للحصول على المعدل الإجمالي.
  3. الحجم المملوء بعد 3 دقائق:

    • نستخدم معدل العمل الإجمالي لحساب الحجم المملوء بعد 3 دقائق.
  4. النسبة المئوية للمحلول P:

    • نحسب النسبة المئوية للمحلول P في الحجم المملوء بعد 3 دقائق.

القوانين المستخدمة:

  • معدل العمل = الحجم / الزمن
  • المعدل الإجمالي = معدل العمل لكل جزء من النظام عند العمل معًا
  • الحجم المملوء = المعدل الإجمالي × الزمن
  • النسبة المئوية = (جزء / الكل) × 100

الآن، لنقم بالحسابات بتفصيل أكثر:

  1. معدل العمل:

    • للأنبوب (أ): معدل العمل=130\text{معدل العمل} = \frac{1}{30}
    • للأنبوب (ب): معدل العمل=120\text{معدل العمل} = \frac{1}{20}
    • للأنبوب (ج): معدل العمل=110\text{معدل العمل} = \frac{1}{10}
  2. المعدل الإجمالي:

    • المعدل الإجمالي=130+120+110=160\text{المعدل الإجمالي} = \frac{1}{30} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{1}{60}
  3. الحجم المملوء بعد 3 دقائق:

    • الحجم المملوء بعد 3 دقائق=3×(160)=120\text{الحجم المملوء بعد 3 دقائق} = 3 \times \left( \frac{1}{60} \right) = \frac{1}{20}
  4. النسبة المئوية للمحلول P:

    • النسبة المئوية لـ P=110120=21\text{النسبة المئوية لـ P} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{20}} = \frac{2}{1}

باستخدام هذه القوانين والحسابات، يمكننا الوصول إلى الإجابة المفصلة.