باقي $9^{1995}$ عند قسمة 7 (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
تحديد الباقي عند قسمة $9^{1995}$ على 7.

الحل:
لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ الفصل الصيني (Chinese Remainder Theorem). نعلم أنه إذا كانت $a \equiv b \ (\text{mod}\ m)$ و $a \equiv b \ (\text{mod}\ n)$ حيث $m$ و $n$ هما أعداد صحيحة متوازية، فإن $a \equiv b \ (\text{mod}\ mn)$.

في هذه المسألة، سنقوم بتحليل الأس الذي يعبر عن الفاصلة المتحركة في $9^{1995}$. لدينا $9^2 \equiv 2 \ (\text{mod}\ 7)$، ونعلم أن $2^k \equiv 4^k \ (\text{mod}\ 7)$.

لتبسيط الحسابات، سنقوم بتحديد القسمة الصحيحة للمضاعفات المتكررة للأس 2. نحصل على النتائج التالية:

$9^2 \equiv 2 \ (\text{mod}\ 7)$
$9^4 \equiv 4 \ (\text{mod}\ 7)$
$9^8 \equiv 2 \ (\text{mod}\ 7)$
$9^{16} \equiv 4 \ (\text{mod}\ 7)$
$9^{32} \equiv 2 \ (\text{mod}\ 7)$

نلاحظ أن الأس الذي نحتاج إليه، وهو $9^{1995}$، يمكن تمثيله على النحو التالي:

$9^{1995} = 9^{32 \times 62 + 11}$
$9^{1995} \equiv (9^{32})^{62} \times 9^{11}$
$9^{1995} \equiv 2^{62} \times 4 \ (\text{mod}\ 7)$

الآن، سنحسب قيمة $2^{62} \ (\text{mod}\ 7)$. نستخدم العمليات الحسابية لتقدير هذا القيمة:

$2^2 \equiv 4 \ (\text{mod}\ 7)$
$2^4 \equiv 2 \ (\text{mod}\ 7)$
$2^8 \equiv 4 \ (\text{mod}\ 7)$
$2^{16} \equiv 2 \ (\text{mod}\ 7)$
$2^{32} \equiv 4 \ (\text{mod}\ 7)$
$2^{62} \equiv 2^{32} \times 2^{16} \times 2^{8} \times 2^4 \times 2^2 \equiv 4 \ (\text{mod}\ 7)$

الآن، نحسب الباقي النهائي:

$9^{1995} \equiv 2^{62} \times 4 \equiv 4 \ (\text{mod}\ 7)$

إذاً، الباقي عند قسمة $9^{1995}$ على 7 هو 4.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ الفصل الصيني والقوانين الرياضية المتعلقة بالأسس والباقي. سنتابع الخطوات بتفصيل أكثر ونستعرض القوانين التي تم استخدامها.

1. التحليل الأسي:
   نعلم أن $9^2 \equiv 2 \ (\text{mod}\ 7)$ وأن $2^k \equiv 4^k \ (\text{mod}\ 7)$. يمكننا تمثيل الأس الذي يحتوي على فاصلة متحركة في $9^{1995}$ بالتالي:
   $9^{1995} = 9^{32 \times 62 + 11} \equiv (9^{32})^{62} \times 9^{11} \equiv 2^{62} \times 4 \ (\text{mod}\ 7)$

2. تقدير قيمة $2^{62} \ (\text{mod}\ 7)$:
   هنا نستخدم قوانين الأس ونحسب القيم التالية:
   $2^2 \equiv 4 \ (\text{mod}\ 7), \ 2^4 \equiv 2 \ (\text{mod}\ 7), \ 2^8 \equiv 4 \ (\text{mod}\ 7), \ 2^{16} \equiv 2 \ (\text{mod}\ 7), \ 2^{32} \equiv 4 \ (\text{mod}\ 7)$
   ثم نستخدم هذه القيم لحساب $2^{62}$ بطريقة فعالة:
   $2^{62} \equiv 2^{32} \times 2^{16} \times 2^8 \times 2^4 \times 2^2 \equiv 4 \ (\text{mod}\ 7)$

3. الجمع النهائي:
   بعد حساب $2^{62} \ (\text{mod}\ 7)$، نستخدمه في الجمع النهائي:
   $9^{1995} \equiv 2^{62} \times 4 \equiv 4 \ (\text{mod}\ 7)$

4. الفصل الصيني:
   نحصل على الباقي النهائي باستخدام مبدأ الفصل الصيني، حيث نقوم بفصل المشكلة إلى مشكلتين أصغر حتى نحصل على الباقي النهائي.

قوانين ومبادئ رياضية مستخدمة:

• قانون الأس: يستخدم لتحديد القيم الأسية للأساسات.
• مبدأ الفصل الصيني: يستخدم لحساب الباقي عند القسمة على عدة أعداد.

هذه القوانين الرياضية تساعد في تبسيط الحسابات وحل المسائل بطريقة فعالة ودقيقة.