باقي قسمة $x^4 + x + 2$ على $x – 3$ (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد الباقي عند قسمة $x^4 + x + 2$ على $x – 3$.

للقيام بذلك، نستخدم طريقة القسمة الطويلة للمعادلات الجبرية.

نبدأ بتقسيم $x^4$ على $x$، الذي يعطي $x^3$. ثم نضرب $x^3$ بـ $x – 3$، الناتج هو $x^4 – 3x^3$. نطرح هذا من $x^4 + x$، ونحصل على $3x^3 + x$.

نقوم الآن بتقسيم $3x^3$ على $x$، مما يعطي $3x^2$. نضرب $3x^2$ بـ $x – 3$، الناتج هو $3x^3 – 9x^2$. نطرح هذا من $3x^3 + x$، ونحصل على $9x^2 + x$.

ثم نقوم بتقسيم $9x^2$ على $x$، الناتج $9x$. نضرب $9x$ بـ $x – 3$، الناتج هو $9x^2 – 27x$. نطرح هذا من $9x^2 + x$، ونحصل على $28x + 2$.

أخيراً، نقوم بتقسيم $28x$ على $x$، الناتج $28$. نضرب $28$ بـ $x – 3$، الناتج هو $28x – 84$. نطرح هذا من $28x + 2$، ونحصل على $86$.

إذاً، الباقي عند قسمة $x^4 + x + 2$ على $x – 3$ هو $86$.

وبالتالي، الإجابة هي: الباقي عند قسمة $x^4 + x + 2$ على $x – 3$ هو $86$.

لحل المسألة وإيجاد الباقي عند قسمة $x^4 + x + 2$ على $x – 3$، سنستخدم قسمة الفضاء الخطي أو القسمة الطويلة للمعادلات الجبرية.

القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. قانون القسمة الطويلة: يسمح لنا بقسم المتعددات أو المعادلات الجبرية للعثور على الباقي.
2. قوانين الجمع والطرح للمتعددات الجبرية: نستخدمها لجمع وطرح الأعضاء المتشابهة في كل خطوة من عملية القسمة.

الآن، سنبدأ العملية:

1. نبدأ بقسم أعلى القوى في $x^4$ على العضو الأول في المقام، وهو $x$، لنحصل على $x^3$.
2. نضرب $x^3$ بـ $(x – 3)$ لنحصل على $x^4 – 3x^3$.
3. نطرح هذا الناتج من $x^4 + x$ لنحصل على $3x^3 + x$.
4. نقوم بقسم $3x^3$ على $x$ لنحصل على $3x^2$.
5. نضرب $3x^2$ بـ $(x – 3)$ لنحصل على $3x^3 – 9x^2$.
6. نطرح هذا الناتج من $3x^3 + x$ لنحصل على $9x^2 + x$.
7. نقوم بقسم $9x^2$ على $x$ لنحصل على $9x$.
8. نضرب $9x$ بـ $(x – 3)$ لنحصل على $9x^2 – 27x$.
9. نطرح هذا الناتج من $9x^2 + x$ لنحصل على $28x + 2$.
10. نقسم $28x$ على $x$ لنحصل على $28$.
11. نضرب $28$ بـ $(x – 3)$ لنحصل على $28x – 84$.
12. نطرح هذا الناتج من $28x + 2$ لنحصل على $86$.

وهكذا، الباقي عند قسمة $x^4 + x + 2$ على $x – 3$ هو $86$.

تتمثل فكرة القسمة الطويلة في تقسيم كل مقدار في المعادلة الأصلية على المتعدي الرئيسي، ومن ثم طرح الناتج المتولد من الضرب مع المتعدي الرئيسي. ثم يتم تكرار هذه العملية حتى الوصول إلى الباقي النهائي.