باقي قسمة مجموع أعداد. (مسألة رياضيات)

حساب باقي القسمة عند جمع $8^6 + 7^7 + 6^8$ على 5. لنقوم بذلك:

نبدأ بحساب قيمة كل عبارة على حدة:

• $8^6$: يمكننا حساب هذه القيمة بسهولة باستخدام قوانين الأسس. $8^6 = (2^3)^6 = 2^{3 \times 6} = 2^{18}$. ومن المعروف أن $2^4 = 16$، لذا $2^8 = (2^4)^2 = 16^2 = 256$. وبالتالي، $2^{18} = 256 \times 256 \times 2 = 65536$.
• $7^7$: نحسب هذه القيمة بسهولة أيضًا. $7^7$ يمكن تحويلها إلى $7 \times (7^2)^3 = 7 \times 49^3 = 7 \times (50 – 1)^3$. الآن، نستخدم القاعدة العامة لتطوير القوى الثلاثية $(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$، حيث يكون $a = 50$ و $b = 1$. بالتالي، $7 \times ((50)^3 – 3 \times (50)^2 \times 1 + 3 \times 50 \times (1)^2 – (1)^3) = 7 \times (125000 – 7500 + 150 – 1) = 7 \times 117649 = 823543$.
• $6^8$: نحسب هذه القيمة باستخدام القوانين ذاتها التي استخدمناها في الحسابات السابقة. $6^8 = (2 \times 3)^8 = 2^8 \times 3^8$. نعرف أن $2^8 = 256$ و $3^2 = 9$، لذا $3^8 = (3^2)^4 = 9^4 = 6561$. بالتالي، $6^8 = 256 \times 6561 = 1679616$.

الآن، نقوم بجمع القيم معًا:
$8^6 + 7^7 + 6^8 = 65536 + 823543 + 1679616 = 256 \times 256 + 823543 + 1679616 = (256 + 823543 + 1679616) = 823543 + 1679616 = 2503159$.

الآن نحسب باقي القسمة عند قسمة الناتج على 5:
$2503159 \mod 5 = (5 \times 500631) + 4$. لذا، الباقي عند قسمة $8^6 + 7^7 + 6^8$ على 5 هو 4.

لحساب الباقي عند قسمة $8^6 + 7^7 + 6^8$ على 5، يمكننا استخدام بعض القوانين الحسابية الأساسية وخوارزميات القسمة لتسهيل الحسابات. هنا هي الخطوات بتفصيل أكبر مع ذكر القوانين المستخدمة:

1. حساب $8^6$:

   • استخدمنا قانون الأسس: $a^m \times a^n = a^{m+n}$.
   • $8^6 = (2^3)^6 = 2^{3 \times 6} = 2^{18}$.
   • نعرف أن $2^4 = 16$، لذا $2^8 = (2^4)^2 = 16^2 = 256$.
   • بالتالي، $2^{18} = 256 \times 256 \times 2 = 65536$.

2. حساب $7^7$:

   • استخدمنا تحويل $(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$.
   • استخدمنا التحويل $a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$.
   • حسبنا $7^7 = 7 \times (50 – 1)^3$.
   • ثم حسبنا $(50 – 1)^3$ باستخدام التحويل المذكور.

3. حساب $6^8$:

   • استخدمنا قانون الأسس: $a^m \times a^n = a^{m+n}$.
   • $6^8 = (2 \times 3)^8 = 2^8 \times 3^8$.
   • نعرف أن $2^8 = 256$ و $3^2 = 9$، لذا $3^8 = 6561$.
   • بالتالي، $6^8 = 256 \times 6561 = 1679616$.

4. جمع القيم:

   • $8^6 + 7^7 + 6^8 = 65536 + 823543 + 1679616$.
   • بالجمع، حصلنا على $2503159$.

5. حساب الباقي عند قسمة الناتج على 5:

   • استخدمنا خوارزمية القسمة: $a \mod b = a – (a \div b) \times b$.
   • بالتطبيق، $2503159 \mod 5 = (5 \times 500631) + 4$.
   • وبالتالي، الباقي عند قسمة $8^6 + 7^7 + 6^8$ على 5 هو 4.

باستخدام هذه القوانين والخوارزميات، نتمكن من حل المسألة بدقة وفعالية، ونعرف باقي القسمة على 5 لمجموع الأعداد المعطاة.