باقي قسمة المجموع على 15 (مسألة رياضيات)

مطلوب حساب باقي القسمة للمجموع التالي: $1! + 2! + 3! + \cdots + 49! + 50!$ عند قسمته على $15$.

لحساب الباقي، نبدأ بحساب قيم كل عامل من العوامل المشاركة في المجموع.

نبدأ بحساب العوامل بالترتيب:

$1! = 1$

$2! = 2 \times 1 = 2$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880$

$10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3628800$

$11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 39916800$

وهكذا نستمر في حساب العوامل حتى $50!$.

الآن، بعد حساب جميع العوامل، نقوم بجمعها معًا.

بما أننا نريد حساب الباقي عند القسمة على $15$، سنقوم بحساب باقي كل عامل عند القسمة على $15$.

نلاحظ أن $15 = 3 \times 5$.

بما أننا نعلم أن $3! = 6$ و $5! = 120$، سنجد أن العوامل بعد هذه النقطة تحتوي على عوامل متعددة من $3$ و $5$، وبالتالي سيكون لدينا باقي صفر عند القسمة على $15$.

لذا، الباقي الذي نبحث عنه هو نفس الباقي الذي نحصل عليه من مجموع العوامل الأولى قبل $3!$ و $5!$.

إذاً، الباقي هو الجمع من العوامل الأولى حتى $2!$، وهو $1 + 2 = 3$.

لذا، الباقي عند قسمة المجموع $1! + 2! + 3! + \cdots + 49! + 50!$ على $15$ هو $3$.

المزيد من المعلومات

STRIDE: مغامرة باركور الواقع الافتراضي

حساء الدجاج لروح المرأة: كتاب ملهم يستحق الاطلاع